發(fā)布時(shí)間：2015-10-20所屬分類：教育論文瀏覽：1次
摘 要： 在當(dāng)前有關(guān)錯(cuò)位相減法的管理應(yīng)用新技巧有那些呢?對(duì)于這種方法有什么作用及意義呢?同時(shí)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)該如何正確的利用這種方法呢，使得數(shù)學(xué)問題能更好的解決。本文選自：《應(yīng)用數(shù)學(xué)》,《應(yīng)用數(shù)學(xué)》曾用刊名：模糊數(shù)學(xué)，創(chuàng)刊于1988年，是由國家教育部主管、華
在當(dāng)前有關(guān)錯(cuò)位相減法的管理應(yīng)用新技巧有那些呢?對(duì)于這種方法有什么作用及意義呢?同時(shí)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)該如何正確的利用這種方法呢，使得數(shù)學(xué)問題能更好的解決。本文選自：《應(yīng)用數(shù)學(xué)》,《應(yīng)用數(shù)學(xué)》曾用刊名：模糊數(shù)學(xué)，創(chuàng)刊于1988年，是由國家教育部主管、華中科技大學(xué)主辦的綜合性的應(yīng)用數(shù)學(xué)刊物。主要刊登：應(yīng)用數(shù)學(xué)的創(chuàng)造性研究成果。讀者對(duì)：大專院校師生、科技工作者以及應(yīng)用數(shù)學(xué)愛好者。被列為國家核心期刊，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域享有很高的聲譽(yù)。宗旨是推動(dòng)我國的應(yīng)用數(shù)學(xué)研究和人才培養(yǎng)工作，反映應(yīng)用數(shù)學(xué)的最新成果，促進(jìn)國內(nèi)外學(xué)術(shù)交流，為加速實(shí)現(xiàn)我國社會(huì)主義現(xiàn)代化服務(wù)。
摘要：錯(cuò)位相減法是一種常用的數(shù)列求和方法，應(yīng)用于等比數(shù)列與等差數(shù)列相乘的形式。 形如An=BnCn，其中Bn為等差數(shù)列，Cn為等比數(shù)列;分別列出Sn，再把所有式子同時(shí)乘以等比數(shù)列的公比，即kSn;然后錯(cuò)一位，兩式相減即可。
關(guān)鍵詞：錯(cuò)位相減法,數(shù)列應(yīng)用,數(shù)學(xué)論文發(fā)表
一、錯(cuò)位相減理論分析
錯(cuò)位相減是高中數(shù)學(xué)教材中推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的一種思想方法，它在解決由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積所構(gòu)成的數(shù)列求和，具有非常重要的意義。由于它的獨(dú)特性與實(shí)用性，并且與課本知識(shí)緊密結(jié)合，所以，在高考中占有十分重要的地位。它所遵從的思想是一種轉(zhuǎn)化的思想，經(jīng)過轉(zhuǎn)化可以把它轉(zhuǎn)化成為等比問題求解。乘以相同的公比得到新式子，再同舊式子錯(cuò)位相減，就得到了一個(gè)含有等比數(shù)列的等式，細(xì)心計(jì)算，便不難求解。
二、錯(cuò)位相減題目舉例
首先，我們先看一道最簡(jiǎn)單的例題，從簡(jiǎn)單題中得到啟發(fā)。
例1.已知數(shù)列an=n・λnλ，求數(shù)列的和。
解：∵Tn=λ+2λ2+…+n-1)λn-1+nλn，JY①
兩邊同時(shí)乘以λ，得
λTn=λ2+2λ3+…+n-1)λn+nλn+1，JY②
�、�-②，得
JZ1-λ)Tn=λ+λ2+…+λn-1+λn-nλn+1，
JZ∴1-λ)Tn=SXλ1-λn)1-λSX)-nλn+1，
JZ∴Tn=SXλ1-λn)1-λ)2SX)-SXnλn+11-λSX).
這是一個(gè)最簡(jiǎn)單的錯(cuò)位相減，同時(shí)也是解決錯(cuò)位相減問題的一個(gè)基礎(chǔ)題目。
下面，我們來看一道有些麻煩的題目。
例二.an=1-2n)・2n，求Sn.
解：由題意知，JZan=(1-2n)・2n，
JZ∴Sn=a1+a2+a3+…+an，
即
DKSn=(1-2)・2+(1-4)・22+(1-6)・23+…+(1-2n)・2nDK)JY①
①×2得
DK2Sn=(1-2)・22+(1-4)・23+…+(3-2n)・2n+(1-2n)・2n+1DK)JY②
�、�-①得
JZSn=2+2・22+23+…+2・2n-(2n-1)・2n+1
JZ=2+2・SX4(1-2n-1)1-2SX)-(2n-1)2n+1
JZ=(1-n)2n+2+2n+1-6
例二是一個(gè)具體化的錯(cuò)位相減問題，對(duì)于這些直接列出的題目，大多數(shù)的學(xué)生都可以做出來，出錯(cuò)率也比較的低，但是，在如今這樣一個(gè)考驗(yàn)學(xué)生綜合素質(zhì)=的社會(huì)中，我們遇到的大多都是多個(gè)知識(shí)點(diǎn)結(jié)合的題目。下面我們通過一道高考題來進(jìn)一步認(rèn)識(shí)一下錯(cuò)位相減。
例三.已知等差數(shù)列{an}的前3項(xiàng)和為6，前8項(xiàng)和為-4.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
(2)設(shè)bn=(4-an)qn-1q≠0，n∈求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
解：(1)設(shè){an}的公差為d，則由已知得
JZJB{a1+a2+a3=6a1+a2+…+a8=-4，JB)即JB{3a1+3d=68a1+28d=-4，JB)
解得a1=3，d=-1，故an=3-n-1)=4-n.
(2)由(1)知，bn=n・qn-1，
于是JZSn=1・q0+2・q1+3・q2+…+n・qn-1，
若q≠1，上式兩邊同時(shí)乘以q.
JZqSn=1・q1+2・q2+3・q3+…+n・qn-1，
兩式相減得：
JZ(1-q)Sn=1+q1+q2+…+qn-1-n・qn=SX1-qn1-qSX)-n・qn.
JZ∴Sn=SX1-qn(1-q)2SX)-SXn・qn1-qSX)=SXn・qn+1-(n+1)qn+1(1-q)2SX).
若q=1，則Sn=1+2+3+…+n=SXnn+1)2SX)，
JZ∴Sn=JB{HL2SXn(n+1)2SX)(q=1)
SXnqn+1-(n+1)qn+1(1-q)2SX)q≠1)HL)JB)
針對(duì)這個(gè)問題，許多同學(xué)容易忽視對(duì)于q的討論致使題目出錯(cuò)。這個(gè)問題的關(guān)鍵是對(duì)于等比數(shù)列的定義的認(rèn)識(shí)，若是忽視了等比數(shù)列定義中對(duì)于公比的界定，則很容易導(dǎo)致問題出錯(cuò)。我們回顧例一可以發(fā)現(xiàn)，在例一中我們對(duì)公比進(jìn)行了限定，因此，在下面的解題中就不需要進(jìn)行討論。
數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，在現(xiàn)行高中教材中，只對(duì)等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行了計(jì)算推導(dǎo)，而數(shù)列種類繁多，形式復(fù)雜，絕大多數(shù)既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列，也就不能直接用公式來求解。很多同學(xué)遇到數(shù)列求和問題總是感到力不從心，甚至有的同學(xué)把它看作是自己的死穴，覺得即使思考也做不出來，何必耽誤時(shí)間，因此遇到這類問題就直接跳過。在這中間，錯(cuò)位相減是一個(gè)比較重要的內(nèi)容，也是一個(gè)及其有效的解決數(shù)列求和的簡(jiǎn)便方法，但是由于它的計(jì)算量比較大，同時(shí)要反復(fù)列出幾個(gè)式子并且不斷求解，有的題目一眼看上去不容易找出公比，更加導(dǎo)致一些同學(xué)放棄或者只計(jì)算其中的一部分。實(shí)際上，通過分層次練習(xí)，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，并找到規(guī)律，這類問題的求解會(huì)變得相當(dāng)?shù)暮?jiǎn)單。
三、方法總結(jié)
A.分析題型，確定類型。錯(cuò)位相減問題具有很強(qiáng)的規(guī)律性，當(dāng)然也適應(yīng)特定的題目，所以，在做題之前首先需要明確題目的類型，錯(cuò)位相減法是否使用。首先，確定是否為數(shù)列類型的題目;其次再確定是否為求和問題;最后，通過觀察通項(xiàng)的類型，確定是否可以使用錯(cuò)位相減法解決問題。錯(cuò)位相減法是等差數(shù)列和等比數(shù)列的有效結(jié)合，即
JZTn=a1b1+a2b2+…+an-1bn-1+anbn
其中an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列。
B.錯(cuò)位相減的做題方法
以例1為例，即
Tn=λ+2λ2+…+(n-1)λn-1+nλnJY①
λTn=λ2+2λ3+…+(n-1)λn+nλn+1JY②
(1-λ)Tn=λ+λ2+…+λn-1+λn-nλn+1JY③
1.①×公比λ得②式(或乘以公比的倒數(shù)，解題方法類似);
2.①-②得③(③式為：留①頭，減②尾，中間對(duì)應(yīng)次數(shù)相減的同系數(shù));
3.③里面含有n+1項(xiàng);
4.按照等比數(shù)列求和方法求③式的前n項(xiàng)的和，減去第n-1項(xiàng);
5.③式兩邊同時(shí)除以SX1λ-1SX)得最后的結(jié)果。
在使用錯(cuò)位相減求和時(shí)，一定要善于識(shí)別這類題目，準(zhǔn)確的識(shí)別是正確解題的關(guān)鍵。同時(shí)要十分注意等比數(shù)列的公比為負(fù)數(shù)的情形，此外，一定要注意在書寫的時(shí)候注意將①②兩式的“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”，即將相同冪指數(shù)的項(xiàng)對(duì)齊，這樣有一個(gè)式子(即式①)前面空出一項(xiàng)，另外一個(gè)式子(即式②)后面就會(huì)多出一項(xiàng)，①②兩式相減得到③式，在式③中除了第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，剩下的n-1項(xiàng)是一個(gè)等比數(shù)列。當(dāng)然認(rèn)真細(xì)致，悉心體會(huì)，記住規(guī)律，耐住性子也是相當(dāng)重要的。
“知行統(tǒng)一”的重要性大家應(yīng)該都知道，當(dāng)我們記住了理論的知識(shí)，勤加練習(xí)，反復(fù)運(yùn)用才會(huì)使我們事倍功半，恰巧，錯(cuò)位相減正需要我們的大量練習(xí)，在不斷的練習(xí)，反復(fù)的刺激我們的記憶細(xì)胞下才有可能使我們?cè)谧鲱}的時(shí)理論練習(xí)實(shí)際，減少出錯(cuò)率。
