發(fā)布時(shí)間：2019-03-12所屬分類：科技論文瀏覽：1次
摘 要： 摘要：分形幾何的應(yīng)用使越來(lái)越多的學(xué)科開(kāi)始變得愈加精密。傳統(tǒng)的幾何解決辦法，不能夠有效地解決問(wèn)題，而分形幾何因其圖形自相似層次結(jié)構(gòu)思想和無(wú)限復(fù)雜分析對(duì)象的適用性開(kāi)始被越來(lái)越多的學(xué)科采用。筆者對(duì)幾何分形與動(dòng)力系統(tǒng)的關(guān)系及其若干問(wèn)題進(jìn)行了分析。
摘要：分形幾何的應(yīng)用使越來(lái)越多的學(xué)科開(kāi)始變得愈加精密。傳統(tǒng)的幾何解決辦法，不能夠有效地解決問(wèn)題，而分形幾何因其圖形自相似層次結(jié)構(gòu)思想和無(wú)限復(fù)雜分析對(duì)象的適用性開(kāi)始被越來(lái)越多的學(xué)科采用。筆者對(duì)幾何分形與動(dòng)力系統(tǒng)的關(guān)系及其若干問(wèn)題進(jìn)行了分析。
關(guān)鍵詞：分形幾何,離散動(dòng)力系統(tǒng),單調(diào)動(dòng)力系統(tǒng)
1分形幾何產(chǎn)生的背景
進(jìn)入20世紀(jì)以后，科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，特別是計(jì)算機(jī)的普及以及歐式幾何存在缺陷，人們開(kāi)始探尋新的計(jì)算方法。隨著人們知識(shí)結(jié)構(gòu)的改變，其對(duì)世界的認(rèn)識(shí)也發(fā)生了很大的變化，其發(fā)現(xiàn)歐式幾何不再適合對(duì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，如花瓣的形態(tài)，木板的裂紋等，所以其開(kāi)始探尋新的計(jì)算方法，以滿足復(fù)雜結(jié)構(gòu)分析的需要。
20世紀(jì)中期B.B.Mandelbro提出來(lái)了這樣一個(gè)問(wèn)題，英格蘭的海岸線到底有多長(zhǎng)?這個(gè)問(wèn)題大部分人都會(huì)用相似的折線來(lái)代替彎彎曲曲的海岸線來(lái)近似計(jì)算，但是海岸線大部分并不是直線，而是彎曲的圓弧，用相似折線來(lái)代替彎曲弧線的近似計(jì)算結(jié)果顯然會(huì)與實(shí)際長(zhǎng)度存在較大出入，這個(gè)問(wèn)題的提出對(duì)以歐氏幾何為核心的傳統(tǒng)幾何提出了挑戰(zhàn)。
幾何學(xué)是一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科，其又可分為歐式幾何、分形幾何等。傳統(tǒng)的幾何主要解決規(guī)則圖形問(wèn)題，而對(duì)于復(fù)雜的圖形或者線條問(wèn)題，比如斷裂曲線的長(zhǎng)度、山的體積、云朵的輪廓，其往往不能夠有效解決。傳統(tǒng)的幾何解決方式，與當(dāng)時(shí)人們的認(rèn)識(shí)水平，理解及解決問(wèn)題的能力相符合，與當(dāng)時(shí)的生產(chǎn)力水平相適應(yīng)，能夠解決實(shí)際應(yīng)用中的各種問(wèn)題。
但是隨著社會(huì)的發(fā)展和科技的不斷進(jìn)步，傳統(tǒng)幾何不能夠有效解決當(dāng)今實(shí)際應(yīng)用中的問(wèn)題，例如其不能達(dá)到計(jì)算復(fù)雜線條，復(fù)雜輪廓，及精度要求，其弊端日益顯現(xiàn)出來(lái)，于是分形幾何就誕生了。為便于讀者更好地理解分形幾何，我們提出以下設(shè)想。試問(wèn)：亞洲的精確面積有多大?亞洲的邊境線有多長(zhǎng)?傳統(tǒng)幾何解決這一類問(wèn)題時(shí)必須把其細(xì)化成極小的微原單位，然后累積計(jì)算，計(jì)算量大且困難。于是B.B.Mandelbrot在1975年提出分形概念，分形的本意是破碎的，不規(guī)則的。具有分形結(jié)構(gòu)的事物基本特征是：其組成部分與整體以某種方式相似，即自相似或仿射相似。
1.1自相似常規(guī)自相似分為三類：
1.簡(jiǎn)單自相似圖形;2.特殊自相似圖形;3.復(fù)雜自相似圖形。在費(fèi)教授的文獻(xiàn)中，自相似分為兩類，大體可以概括為：數(shù)學(xué)理想情況下，物體放大或者縮小后與原來(lái)物體形體一致。其分形集有Cantor集、Koch典線、Sierpinski墊片及Vicsek圖形等;還有一種是實(shí)際存在的自相似，實(shí)際存在的嵌套：無(wú)窮嵌套自相似。
1.2分形幾何定義
到目前為止，分形還沒(méi)有一個(gè)完全嚴(yán)格的公認(rèn)的定義。一般如果稱集合F是分形，即認(rèn)為它具有以下典型性質(zhì)：(1)F具有精細(xì)的結(jié)構(gòu)，在極小的尺度下都有復(fù)雜的細(xì)節(jié);(2)F非常不規(guī)則，導(dǎo)致他的整體和局部都不能用準(zhǔn)確的文字描述;(3)F具有自相似性，可以是形狀的，也可以是數(shù)字的;(4)F在某種意義下的分形維數(shù)通常大于它的拓?fù)渚S數(shù);(5)F能由迭代產(chǎn)生。
1.3分?jǐn)?shù)維數(shù)是分形幾何的重要標(biāo)準(zhǔn)之一
我們通常通過(guò)一個(gè)模型的維數(shù)來(lái)形容這個(gè)圖形，它表達(dá)了物體空間占有度。相應(yīng)的維數(shù)越高，這個(gè)圖形越復(fù)雜，越難以描述。例如歐式空間幾何維數(shù)，當(dāng)線段長(zhǎng)度變成原來(lái)的2倍時(shí)，則長(zhǎng)度乘以2，當(dāng)二維圖形邊長(zhǎng)放大2倍時(shí)，則面積變成原來(lái)的2的平方倍，相應(yīng)的n維圖形邊長(zhǎng)變成原來(lái)的2倍時(shí)，則其面積變成原來(lái)的2的n次方倍。維數(shù)越高越復(fù)雜。
1.4Hausdorff維數(shù)計(jì)算
自相似集是最簡(jiǎn)單的集合，通過(guò)Hausdorff可以得到完美結(jié)果，但自相似集結(jié)構(gòu)特點(diǎn)導(dǎo)致Hausdorff發(fā)展進(jìn)展緩慢。想要解決這一個(gè)問(wèn)題，必須通過(guò)上凸密度來(lái)計(jì)算，在某種意義上，上凸密度的計(jì)算與Hausdorf測(cè)度計(jì)算是一樣的。
1.5分形幾何自身的問(wèn)題
第一，怎樣用分形理論求取物性參數(shù)，以建立物性參數(shù)的分形模型。
第二，研究對(duì)象分形與否不確定。分形目前在數(shù)學(xué)上沒(méi)有一個(gè)明確的定義，當(dāng)遇到數(shù)量有限的情況時(shí)，按照比例劃分。目前分形中存在許多不確定的因素，因此運(yùn)用有效的辦法給分形下定義十分必要。
第三，分形重構(gòu)問(wèn)題。分形有正問(wèn)題和反問(wèn)題。分形的正問(wèn)題是通過(guò)有軌跡的放大或者迭代產(chǎn)生，其結(jié)果具有自相似。反問(wèn)題也可以叫做分形重構(gòu)，它是指給定一個(gè)具有自相似特征的對(duì)象，找到其生成規(guī)律或以某種方式使其生成。但是重構(gòu)出的對(duì)象如何，是否與原圖形自相似都需進(jìn)一步的驗(yàn)證。分形重構(gòu)研究尚處于起步階段，對(duì)于這些問(wèn)題的解決需要進(jìn)行更深入的研究。
第四，分形產(chǎn)生原因。對(duì)于分形產(chǎn)生原因的解釋目前有兩類：一類認(rèn)為和分形最終現(xiàn)象有關(guān);另一類認(rèn)為，在該系統(tǒng)演化過(guò)程中出現(xiàn)過(guò)很多狀態(tài)和集合，這些狀態(tài)是獨(dú)立的，分形的。
2動(dòng)力系統(tǒng)
動(dòng)力系統(tǒng)中常用的基本概念熵，在動(dòng)力系統(tǒng)中非常重要。熵是描述物體運(yùn)動(dòng)混亂度的一個(gè)參量，非常重要。在大多數(shù)情況下，我們把物體簡(jiǎn)單規(guī)則運(yùn)動(dòng)稱為零熵，把物體復(fù)雜運(yùn)動(dòng)稱為正熵。所以，怎樣判斷物體是零熵還是正熵或是簡(jiǎn)單運(yùn)動(dòng)還是復(fù)雜運(yùn)動(dòng)非常重要。因零熵運(yùn)動(dòng)便于計(jì)算，所以在大多數(shù)情況下，零熵是我們最希望看到的。因此我們通常在諸多運(yùn)動(dòng)中尋找并證明物體是零熵運(yùn)動(dòng)，但尋找難度較大，且判斷經(jīng)常有誤。
下面我們就來(lái)簡(jiǎn)單探討分形幾何和動(dòng)力系統(tǒng)的若干問(wèn)題：?jiǎn)栴}一：在什么條件下，等式H"(E)=EY成立?在對(duì)自相似集不斷研究的基礎(chǔ)上，周教授于2003年在“全國(guó)數(shù)學(xué)分形理論與動(dòng)力系統(tǒng)學(xué)術(shù)研討會(huì)”上提出這樣一個(gè)話題，維數(shù)是否大于1給分形的性質(zhì)帶來(lái)了極大的影響，這個(gè)問(wèn)題關(guān)系到上凸密度、最好覆蓋等性質(zhì)。同時(shí)，其還提出了相似壓縮不動(dòng)點(diǎn)，得到了相似集的上凸密度，并且證明了估算原理成立條件，解決了相似集上凸密度上下限的估計(jì)問(wèn)題。半序Banach空間非線性算子關(guān)于動(dòng)力系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。
半序Banach空間非線性算子通過(guò)迭代后，離散(半)動(dòng)力系統(tǒng)不動(dòng)點(diǎn)存在唯一性與全局漸近穩(wěn)定性。非線性積分方程以及單調(diào)動(dòng)力系統(tǒng)和競(jìng)爭(zhēng)生態(tài)系統(tǒng)通過(guò)運(yùn)用非線性算子的動(dòng)力學(xué)理論，得到了非線性積分方程的解的存在、迭代收斂性、唯一性等許多有用的結(jié)果。對(duì)于這些理論研究;非線性算子離散動(dòng)力系統(tǒng)不動(dòng)點(diǎn)的唯一性與全局漸近穩(wěn)定性結(jié)果的運(yùn)用，極大的促進(jìn)了非線性動(dòng)力學(xué)的穩(wěn)定性理論，無(wú)論是對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)還是競(jìng)爭(zhēng)生態(tài)系統(tǒng)，這些研究都有重要的價(jià)值。
問(wèn)題二：Hausdorff的準(zhǔn)確度。分形幾何對(duì)研究不規(guī)則物體形狀的作用巨大。在日常生活中，諸多問(wèn)題都需要用幾何分形來(lái)解決，幾何分形在數(shù)學(xué)、在化學(xué)、物理、光學(xué)、生物學(xué)等方面應(yīng)用廣泛，且這些應(yīng)用都基于Hausdroff維數(shù)理論研究。Hausdroff維數(shù)與Hausdroff測(cè)度是分形幾何研究的重要組成部分，雖然Hausdoff維數(shù)與Hausdorf測(cè)度能夠清晰描述和反映任何幾何，但它們是兩個(gè)不同的概念，Hausdroff測(cè)度決定了Hausdroff維數(shù)，其能夠體現(xiàn)物體的不規(guī)則程度，但是其相關(guān)研究進(jìn)展緩慢。
與之相反，經(jīng)過(guò)努力，近年來(lái)Hausdorf維數(shù)的計(jì)算與估計(jì)取得了很大進(jìn)步。但至今為止，Hausdroff測(cè)度和Haudroff維數(shù)還沒(méi)有準(zhǔn)確的估計(jì)測(cè)算值。近年來(lái)，關(guān)于滿足開(kāi)集條件的自相似集的研究進(jìn)展較快，且取得了顯著成果，但Hausdoff測(cè)度計(jì)算研究還遲步不前，人們對(duì)其形狀結(jié)構(gòu)認(rèn)識(shí)比較模糊，無(wú)法對(duì)其進(jìn)行具體研究。但專家學(xué)者并沒(méi)有因此就放棄研究，而是仍致力于Hausdoff測(cè)度研究。
20世紀(jì)后期，加拿大學(xué)者J.Marion提出了關(guān)于Koch曲線和Sierpinski墊片的Hausdoff測(cè)度猜測(cè)，此后十年間，此問(wèn)題研究一直停滯不前;1998年，周教授提出了關(guān)于自相似集的部分估計(jì)原理，并且利用這個(gè)原理對(duì)Koch曲線和Sierpinski墊片的Hausdorf測(cè)度進(jìn)行了比較好的估計(jì);1999年周教授否定了加拿大學(xué)者的兩個(gè)估計(jì);2004年，周教授第一次計(jì)算出平面上維數(shù)為1的分形的準(zhǔn)確值，并先后提出了關(guān)于Hausdorf測(cè)度與拓?fù)潇氐榷鄠�(gè)問(wèn)題，Hausdorf測(cè)度研究取得了里程碑式的進(jìn)展。
目前為止，我們對(duì)維數(shù)不超過(guò)1的分形Hausdof測(cè)度計(jì)算研究取得了較大突破。但對(duì)于維數(shù)大于1的分形Hausdof測(cè)度計(jì)算研究仍然進(jìn)展緩慢。1976年，保序算子被H.Aman提出，此后八年間，混合單調(diào)算子被郭大均和Skemilathan提出，1999年ascending算子被提出，保序算子、混合單調(diào)算子、ascending算子是三種非常重要的非線性算子。數(shù)據(jù)顯示，過(guò)去對(duì)于這些非線性算子的研究都是單獨(dú)進(jìn)行，而沒(méi)有對(duì)其進(jìn)行綜合研究，到目前為止對(duì)這些非線性算子的研究還是方法各異，沒(méi)有達(dá)成一致。對(duì)于混合單調(diào)算子的研究一般孤立進(jìn)行，不考慮其與其他算子之間的相互影響。
混合單調(diào)算子是一類十分重要的非線性算子，廣泛存在于非線性微分方程和積分方程的研究中。設(shè)E是半序Banach空間，DCE，A：DxD→E是混合單調(diào)算子。研究混合單調(diào)算子可以分成兩種情況，一種是其定義域?yàn)樾騾^(qū)間的Descartes集;另一種是其定義域?yàn)橥瑰F的Descartes集。而后者-般考慮算子的某種凹凸性。
因?yàn)橥咕S的范圍往往比序區(qū)間的范圍大得多，這就為驗(yàn)證算子的某種凹凸性帶來(lái)不便，將定義域?yàn)镻限制在序區(qū)間上討論，引入序區(qū)間上一元中φ凹(凸)算子,得到了不動(dòng)點(diǎn)的存在唯一性，把具有二元凹((-4)凸)性的混合單調(diào)算子限制在序區(qū)間的Descartes集上，即討論序區(qū)間Descartes集上二元凹((-中)凸)混合單調(diào)算子，同樣得到了不動(dòng)點(diǎn)的存在唯一性與迭代收斂性，進(jìn)而得到了-類混合單調(diào)算子的若干新不動(dòng)點(diǎn)定理。(具體驗(yàn)證步驟請(qǐng)參考周作領(lǐng)《自相似集的結(jié)構(gòu)》)。
3結(jié)論
這些年來(lái)，一些學(xué)者對(duì)Banach空間線性算子迭代的動(dòng)力學(xué)的研究，取得了令人矚目的成就。1999年，Karlgoswin對(duì)動(dòng)力學(xué)的研究取得了若干成果。2003年，NothS.Feldma對(duì)常規(guī)條件下線性算子的軌道研究也取得了顯著成果。其實(shí)在實(shí)際應(yīng)用中，線性算子占比很小，大部分還是非線性算子，而非線性算子雜亂無(wú)章，難以研究。大家都知道，動(dòng)力系統(tǒng)中最重要、最簡(jiǎn)單的是自相似集，它可以用維數(shù)來(lái)表示，如Husdorff、Packing、Bouligar等。維數(shù)的大小表達(dá)了集合的復(fù)雜程度。Hausdorf測(cè)度與Hausdorf維數(shù)理論是分形理論的基礎(chǔ)，Hausdorf維數(shù)與Hausdorf測(cè)度能非常精確地反映物體結(jié)構(gòu)的復(fù)雜程度，所以對(duì)Hausdorf測(cè)度和Hausdrof維度進(jìn)行研究意義重大。
參考文獻(xiàn)：
[1]許紹元.分形幾何與動(dòng)力系統(tǒng)的若干問(wèn)題[D].廣州：中山大學(xué)，2005.
[2]尹建東.分形幾何與動(dòng)力系統(tǒng)中的若干問(wèn)題[D].廣州：中山大學(xué)，2007.
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