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摘 要： 摘要 本文考慮一類具有強迫力的擺型碰撞振子無窮多次調和的彈性周期解的存在性. 通過坐標變換的方法把碰撞系統(tǒng)轉化為定義在全平面上的等價系統(tǒng), 再運用相平面分析的方法對變換后系統(tǒng)的解的動力行為進行分析, 通過在改進的 Poincare 映射上應用 Poincare-Birk
摘要 本文考慮一類具有強迫力的擺型碰撞振子無窮多次調和的彈性周期解的存在性. 通過坐標變換的方法把碰撞系統(tǒng)轉化為定義在全平面上的等價系統(tǒng), 再運用相平面分析的方法對變換后系統(tǒng)的解的動力行為進行分析, 通過在改進的 Poincar´e 映射上應用 Poincar´e-Birkhoff 扭轉定理得到了無窮多次調和的彈性周期解的存在性.
關鍵詞 擺型碰撞振子 彈性周期解 Poincar´e 映射 Poincar´e-Birkhoff 扭轉定理
1 引言
本文考慮具有強迫力的擺型碰撞振子
的無窮多次調和的彈性周期解的存在性問題, 其中 ε 是小參數; p(t) 是連續(xù)的 2π 周期函數; f(t, x) 是連續(xù)函數, 關于 t 和 x 都是 2π 周期的, 并存在正常數 α 和 β, 滿足
碰撞振子是非線性振動和非光滑 Hamilton 系統(tǒng)的重要模型, 它的行為與 Fermi 加速器問題[1]、對偶彈球問題[2, 3] 和天體力學問題[4] 等相關聯(lián), 所以, 研究它具有廣泛的實際意義. 同時也為檢驗一些非光滑動力系統(tǒng)的數學方法提供了一個很好的模型. 但由于系統(tǒng)的非光滑性導致研究的數學工具比較缺乏, 而且碰撞問題的彈性解的全體并不封閉, 從而也缺乏適當的泛函框架, 使得解決碰撞系統(tǒng)的相關問題變得困難.
為了更好地敘述問題, 我們先給出在 x = 0 處發(fā)生完全碰撞的彈性解的定義.
定義 1.1 連續(xù)函數 x : R → R 稱為方程 (1.1) 的碰撞彈性解, 若以下條件成立:
周期彈性解是碰撞振子特有的非平凡的平衡態(tài). 關于碰撞振子的周期解理論的研究方法主要有兩類, 一類是應用非光滑臨界點理論來研究. 早在 20 世紀 80 年代, Chang [5, 6] 就發(fā)展了非光滑臨界點理論對障礙問題進行研究. 近期的進展可參見文獻 [7] 等. 碰撞振子是一類特殊的障礙問題. Jiang [8] 克服了一些技術上的難點, 通過一些轉換, 用非光滑臨界點理論, 證明了在超線性條件下, 無窮多彈性周期解的存在性.
另一類是通過適當的作用 - 角變量的選擇來克服非光滑性, 把問題轉化為適當的相平面上的保面積同胚進行研究. 這樣可以應用保面積同胚的一些重要定理, 例如, Poincar´e-Birkhoff 扭轉定理得到碰撞振子的無窮多個彈性周期解的存在性 (參見文獻 [1,9–11]). Bonheure 和 Fabry [9] 利用 Poincar´e 映射和逼近的方法證明了帶有常系數的線性碰撞振子的 2π 周期彈性解的存在性. 接著, Qian 和 Torres[10, 11]用后繼映射直接分析碰撞振子的行為, 對更廣泛的模型得到了比文獻 [9] 更豐富的結果.
對于本文考慮的具有強迫力的擺型碰撞振子, 一個典型的例子就是彈性數學擺
其中 a(t) 和 q(t) 是 2π 周期函數, a(t) > 0. 當 a(t) = 1 和 q(t) = 0 時, 由對稱性可知, 其相圖就是擺型方程 x'' + sin x = 0 對應于 x大于等于0 的部分. 如果 a(t) 不是常值函數, 或者具有強迫力 q(t), 則 (1.2) 在相平面上的表現就不那么規(guī)則了.
的非退化條件或者對 q(t) 有一定的限制條件下, 近期也有一些無窮多個次調和解存在性的結果[15–17]擺型碰撞振子 (1.2) 的彈性周期解的研究尚未見系統(tǒng)的理論結果. 所以, 一個自然的問題是, 在什么條件下擺型碰撞振子 (1.2) 存在無窮多個次調和的彈性周期解. 由于從 (1.2) 的特例的相圖 (如q(t) ≡ 0) 可見, 初速度比較大的解其后繼映射是沒有定義的, 所以, 我們并不能沿用文獻 [1, 9–11] 的方法, 必須考慮不同的相平面. 為此, 我們引入文獻 [18] 中的坐標變換把碰撞系統(tǒng)轉化為定義在全平面上的等價系統(tǒng), 再運用相平面分析的方法對變換后系統(tǒng)的解的動力行為進行分析, 通過新系統(tǒng)的Poincar´e 映射的性質來研究具有強迫力的擺型碰撞振子的彈性周期解的存在性.
下面是我們的主要結論.
定理 1.1 設 f(t, x) 關于 t 和 x 是 2π 周期的連續(xù)函數, 滿足條件 (h), p(t) 是連續(xù)的 2π 周期函數, 則存在 ε0 > 0, 使得當 |ε| 小于等于 ε0 時, 有 mε ∈ N; 對 m > mε, m ∈ N, 碰撞振子 (1.1) 至少有兩個 2mπ周期的彈性次調和解。
2 坐標變換
由于碰撞振子的解要滿足 x(t) > 0, 所以其對應的相平面只是右半平面. 在這樣的相平面上, 經典的研究平面 Hamilton 系統(tǒng)周期解存在性的 Poincar´e-Birkhoff 扭轉定理無法應用. 因此, 我們引入一個新的極坐標變換, 使得在新坐標下碰撞振子的相平面是全平面. 其幾何直觀是將負半 y 軸拉到正半 y軸使它們重合 (對應彈性碰撞). 因此, 碰撞振子的相平面就是全平面了. 在這種坐標下, 方程 (1.1) 的次調和的彈性周期解對應為 Poincar´e 映射的周期不動點. 下面介紹所用的極坐標變換.
使得 r(t) 和 θ(t) 在碰撞時刻 t0 處是連續(xù)函數. 當情形 2 發(fā)生時, 取 j = 2k − 1, 我們可以通過類似的方法補充 r(t) 和 θ(t) 在 t0 時刻的定義使其是連續(xù)函數.通過在每個碰撞時刻補充定義, 方程 (2.5) 的解 r(t) 和 θ(t) 在其最大存在區(qū)間上是連續(xù)函數. 容易看出, θ′(t0) = −2 < 0, 因此振子不會在 θ(t) = 2kπ + π/2 (k ∈ Z) 處停留, 并且碰撞前后解滿足的方程在情形 1 與 2 之間相互交替. 反過來, 如果方程 (2.4) 的解存在時刻 t˜ 滿足 θ(t˜) = 2kπ + π/2, 顯然,
方程 (2.1) 對應的解將在 t = t˜ 時發(fā)生碰撞.當 θ ∈ (−3π/2, π/2) 時, 有 θ + 2π ∈ (π/2, 5π/2), 由此容易驗證, 在方程 (2.2) 中, x(r, θ) 和 y(r, θ)關于 θ 是 2π 周期的.
如果 Hamilton 系統(tǒng)
滿足解對初值的存在唯一性, 那么除去原點外, 方程 (2.2) 也滿足解對初值的存在唯一性. 如果解都是全局存在的, 則容易證明其 Poincar´e 映射
是有定義的, 而且是保面積同胚. 故由極坐標
表示的 (u = r cos θ, v = r sin θ) 相平面的 Poincar´e 映射也是有定義的, 在變換 (2.3) 和 (2.4) 的極坐標下, 原來的 (x, y) 相平面有面積元 rdrdθ. 而在變換后的 (u = r cos θ, v = r sin θ) 相平面也有面積元rdrdθ, 而且其 Poincar´e 映射也是保面積同胚.
3 相平面分析
由于我們是在一個特定的環(huán)域內應用 Poincar´e-Birkhoff 扭轉定理, 因此, 我們的相平面分析可以歸結在一個緊區(qū)域內, 所以, 不妨假設在定理 1.1 的條件下, 二階 Hamilton 方程 x′′ + f(t, x) = εp(t) 和Hamilton 系統(tǒng)
的初值問題的解是存在唯一的, 否則可以像文獻 [19] 那樣先考慮解析的方程, 然后用一點緊性討論, 逼近到原方程問題的解.
下面的引理說明我們可以通過極坐標系統(tǒng) (2.5) 來研究碰撞振子 (2.2) 的次調和解.
4 定理 1.1 的證明
考慮的 Poincar´e 映射在原點處是例外的, 所以, 我們需要用到一個 Poincar´e-Birkhoff 扭轉定理的
新的形式 (參見文獻 [11, 定理 2.1]), 它是在 Ding [20] 和 Franks[14] 得到的 Poincar´e-Birkhoff 扭轉定理的基礎上改進的. 這個形式的特點是, 只需要 Poincar´e 映射在某一個包含原點的圓盤外有定義.
它們對應到碰撞系統(tǒng) (2.2) 的 2 個 2mπ 彈性周期解, 并且分別在 2mπ 時段內恰好有一次碰撞. 所以,它們必定是 2mπ 彈性次調和的周期解. 對每一個 m, 取不同的 r+ 可以構造不同的環(huán)域, 得到系統(tǒng)對每個 m > m0 有至少 2 個 2mπ 彈性次調和的周期解.
下面需證明這些周期解是系統(tǒng) (2.1) 的. 也就是證明這些周期解位于圓盤 r 6 ρ1 之外. 為此, 注意到由 Poincar´e-Birkhoff 扭轉定理得到的周期解從 A 中出發(fā), 如果其達到圓盤 r 6 ρ1 必定在某個時刻 t1與內邊界 r = r− 相交, 然后又在 t2 時刻與 r = ρ1 相交. 引理 3.3 實際上證明了從內邊界 r = r− 出發(fā)的解到達 r = ρ1 至少需要用 12π/α 長的時間, 故 2mπ > t2 > t1 + 12π/α. 而引理 3.3 實際上也證明了在 12π/α 時段內解至少順時針轉了 3 圈. 于是, 結合 (3.3) 可得
與 (4.1) 矛盾.
我們證明了所得的 2mπ 彈性次調和的周期解是系統(tǒng) (2.1) 的, 也即證明了對每個 m > m0, 碰撞振子 (1.1) 至少有兩個 2mπ 彈性次調和的周期解.
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