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摘 要： 摘要：齒輪系統(tǒng)應(yīng)用廣泛，并在風(fēng)力發(fā)電、航空航天、汽車(chē)和盾構(gòu)機(jī)等機(jī)械設(shè)備中發(fā)揮關(guān)鍵作用。其動(dòng)力學(xué)特性的優(yōu)劣將直接影響設(shè)備整機(jī)的工作性能。然而齒輪傳動(dòng)的結(jié)構(gòu)形式多樣、內(nèi)外部激勵(lì)和非線性因素豐富，同時(shí)工作環(huán)境復(fù)雜多變，這使其動(dòng)力學(xué)分析相比較于其他機(jī)械系統(tǒng)
摘要：齒輪系統(tǒng)應(yīng)用廣泛，并在風(fēng)力發(fā)電、航空航天、汽車(chē)和盾構(gòu)機(jī)等機(jī)械設(shè)備中發(fā)揮關(guān)鍵作用。其動(dòng)力學(xué)特性的優(yōu)劣將直接影響設(shè)備整機(jī)的工作性能。然而齒輪傳動(dòng)的結(jié)構(gòu)形式多樣、內(nèi)外部激勵(lì)和非線性因素豐富，同時(shí)工作環(huán)境復(fù)雜多變，這使其動(dòng)力學(xué)分析相比較于其他機(jī)械系統(tǒng)更加復(fù)雜。另外，制造、加工、裝配等的誤差、磨損、潤(rùn)滑和運(yùn)行環(huán)境等因素將導(dǎo)致齒輪系統(tǒng)的內(nèi)外部激勵(lì)和系統(tǒng)參數(shù)具有不確定性。齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析需要考慮這些不確定性因素。目前，針對(duì)齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的不確定性分析，國(guó)內(nèi)外學(xué)者已開(kāi)展了廣泛的研究工作。從不確定性因素的描述方式、動(dòng)力學(xué)方程的求解方法、動(dòng)力學(xué)特性分析、可靠性與優(yōu)化設(shè)計(jì)、以及不確定性分析的試驗(yàn)研究等方面系統(tǒng)地評(píng)述國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)不確定性動(dòng)力學(xué)特性的研究現(xiàn)狀，并給出需要進(jìn)一步研究的問(wèn)題。
關(guān)鍵詞：齒輪傳動(dòng);動(dòng)力學(xué);統(tǒng)計(jì)分析;隨機(jī)誤差;不確定性
0 前言
齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)具有結(jié)構(gòu)緊湊、功率范圍廣和傳動(dòng)速比寬等優(yōu)點(diǎn)，已被廣泛應(yīng)用于多種機(jī)械裝備中。隨著機(jī)械裝備向大型化、高可靠、高精度和長(zhǎng)壽命等方面的發(fā)展，人們對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)性能的要求也在不斷提高，更準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能變得越來(lái)越重要。然而，周期時(shí)變嚙合剛度、齒側(cè)間 隙、傳遞誤差和復(fù)雜的外部激勵(lì)增加了齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的研究難度。目前，已有不少針對(duì)齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模[1-4]與求解[5-8]、固有特性[9-10]、動(dòng)態(tài)響應(yīng)[11-14]、穩(wěn)定性[15-18]、可靠性分析和優(yōu)化設(shè)計(jì)[19-22] 等方面的研究工作。李潤(rùn)方等[23]系統(tǒng)地闡述了齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)、沖擊和噪聲分析中的關(guān)鍵理論及方法。
上述研究大多將齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題處理為確定性參數(shù)或激勵(lì)下的問(wèn)題。實(shí)際工程中，由于制造、加工、裝配等的誤差、磨損、潤(rùn)滑和運(yùn)行環(huán)境變化等原因，不確定性因素廣泛存在于齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中。然而，在以往的設(shè)備研發(fā)設(shè)計(jì)過(guò)程中，由于設(shè)計(jì)過(guò)程的簡(jiǎn)化或技術(shù)條件限制，往往對(duì)這些不確定因素加以忽略，或通過(guò)安全系數(shù)法簡(jiǎn)單估計(jì)不確定性因素。但這常常會(huì)引起設(shè)備的可靠性問(wèn)題。例如，根據(jù)華能、大唐和華電等 12 家風(fēng)電企業(yè)的風(fēng)電機(jī)組故障統(tǒng)計(jì)分析，2011 年 1 月至 8 月，服役的 23 600 臺(tái)風(fēng)電機(jī)組發(fā)生故障的次數(shù)超過(guò) 40 000 次[24]。 Vestas和GE公司所產(chǎn)的1.5 MW雙饋式風(fēng)電機(jī)組也曾因齒輪箱質(zhì)量問(wèn)題而被大規(guī)模召回。為滿足現(xiàn)代機(jī)械設(shè)備日益提高的性能和可靠性要求，必須在系統(tǒng)建模和分析中考慮不確定性因素。齒輪系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性不確定性分析的早期工作，可追溯到 1977 年 TOBE 等[25-26]的研究。他們通過(guò)試驗(yàn)證明了齒輪系統(tǒng)傳遞誤差中隨機(jī)成分的存在，并建立了系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)動(dòng)力學(xué)方程，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)線性化方法和矩方程求解得到響應(yīng)的前兩階矩。隨后，KUMAR 等[27]給出了直齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的等效離散時(shí)間狀態(tài)方程，并分析了隨機(jī)誤差幅值和轉(zhuǎn)速對(duì)動(dòng)載系數(shù)的影響情況。 NERIYA 等[28]分析了單級(jí)斜齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)在隨機(jī)誤差激勵(lì)下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。
不確定性方法處理齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題一般包括兩個(gè)方面：其一，不確定性因素的描述方式;其二，分析模型對(duì)不確定性的傳播。統(tǒng)計(jì)模型、區(qū)間模型和模糊模型是不確定因素描述的三種主要方式。若不確定性因素具有隨機(jī)性，則可以通過(guò)統(tǒng)計(jì)模型進(jìn)行描述，其概率分布一般通過(guò)大量樣本或具有代表性的樣本進(jìn)行估計(jì)[29]。另外，不確定性輸入?yún)?shù)的變化范圍往往容易獲得，因此可以采用區(qū)間模型[30]處理這一類(lèi)問(wèn)題。模糊模型則是基于模糊集合理論和模糊邏輯學(xué)的數(shù)學(xué)模型，用以描述由“含糊不清”引起的不確定性因素。分析模型對(duì)不確定性的傳播則主要研究如何通過(guò)輸入?yún)?shù)的不確定性特征獲得系統(tǒng)輸出的不確定性特征。1995 年，李潤(rùn)方等[31]對(duì)六七十年代國(guó)外齒輪系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性統(tǒng)計(jì)分析進(jìn)行了闡述，其主要內(nèi)容是有關(guān)隨機(jī)傳遞誤差下的系統(tǒng)動(dòng)載荷和動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析。近些年，國(guó)內(nèi)外研究人員在這兩方面又開(kāi)展了一些卓有成效的研究工作。本文將從不確定因素的描述方式、動(dòng)力學(xué)方程的求解方法、動(dòng)力學(xué)特性不確定性分析、可靠性分析與優(yōu)化設(shè)計(jì)、以及不確定性分析的試驗(yàn)研究等方面對(duì)國(guó)內(nèi)外研究進(jìn)展進(jìn)行評(píng)述，并給出需要進(jìn)一步研究的方向。
1 不確定性因素的描述方式
不確定性因素的描述方式是不確定性問(wèn)題研究的首要問(wèn)題。只有根據(jù)已知信息的數(shù)量和類(lèi)型選擇恰當(dāng)?shù)拿枋龇绞剑拍苓x擇對(duì)應(yīng)的不確定性分析方法進(jìn)行相關(guān)的動(dòng)力學(xué)分析。根據(jù)研究現(xiàn)狀，齒輪系統(tǒng)的不確定性因素主要包括內(nèi)部激勵(lì)、外部激勵(lì)和系統(tǒng)參數(shù)的不確定性。內(nèi)部激勵(lì)是齒輪系統(tǒng)與其他機(jī)械系統(tǒng)的主要不同之處，外部激勵(lì)則根據(jù)不同的應(yīng)用對(duì)象會(huì)有不同的特點(diǎn)。本節(jié)主要闡述了內(nèi)部激勵(lì)、外部激勵(lì)和系統(tǒng)參數(shù)等不確定性因素的描述方式。
1.1 內(nèi)部激勵(lì)不確定性的描述
齒輪系統(tǒng)的內(nèi)部激勵(lì)主要包括誤差激勵(lì)、剛度激勵(lì)和嚙合沖擊激勵(lì)。目前，不確定性分析中主要討論了誤差激勵(lì)和剛度激勵(lì)的不確定性。誤差激勵(lì)的不確定性主要通過(guò)統(tǒng)計(jì)模型和模糊模型描述，剛度激勵(lì)的不確定性主要通過(guò)統(tǒng)計(jì)模型描述。
1.1.1 誤差激勵(lì)不確定性的描述
在統(tǒng)計(jì)模型中，誤差激勵(lì)一般被表示為確定性分量與隨機(jī)性分量之和的形式。其中隨機(jī)部分有多種描述方式，如 Gaussian 白噪聲、Gaussian 有色噪聲和服從某種分布規(guī)律的隨機(jī)變量。 Gaussian 白噪聲形式的隨機(jī)誤差激勵(lì)可以通過(guò)整形濾波器得到，也可直接通過(guò) MATLAB 軟件提供的內(nèi)部函數(shù)直接產(chǎn)生。白噪聲是指其功率譜密度函數(shù)在整個(gè)頻域內(nèi)均勻分布的隨機(jī)信號(hào)。Gaussian 白噪聲則還需要滿足其幅度統(tǒng)計(jì)規(guī)律服從 Gaussian 分布[32]。由于二階 Markov 過(guò)程可以提供很好的隨機(jī)振蕩現(xiàn)象，常被用做整形濾波器，以產(chǎn)生 Gaussian 白噪聲[27]。
早在 1977 年，TOBE 等[25]便利用該模型分析了齒輪副中誤差激勵(lì)的隨機(jī)成分對(duì)動(dòng)載荷的影響。SATO 等[33]研究了隨機(jī)誤差激勵(lì)下齒輪系統(tǒng)的間隙非線性特征。KUMAR 等[27]分析了隨機(jī)誤差激勵(lì)下單級(jí)齒輪副系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)統(tǒng)計(jì)特征。 NERIYA 等[28]建立了斜齒輪系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)、彎曲、回轉(zhuǎn)和軸向運(yùn)動(dòng)的耦合型分析模型，并分析了系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特征。GELMAN 等[34]則同時(shí)考慮隨機(jī)傳遞誤差、隨機(jī)嚙合剛度和隨機(jī)初始條件，研究了齒輪系統(tǒng)動(dòng)態(tài)平均激勵(lì)和傳遞平均載荷的關(guān)系。另外，Gaussian 白噪聲還可通過(guò) Matlab 軟件提供的內(nèi)部函數(shù) WGN、AWGN 或者 RANDN 的直接產(chǎn)生。運(yùn)用這種方式，F(xiàn)ENG 等[35]分析了含隨機(jī)誤差和隨機(jī)間隙的單級(jí)齒輪系統(tǒng)穩(wěn)定性。陳會(huì)濤等[36]分析了隨機(jī)誤差激勵(lì)對(duì)含時(shí)變嚙合剛度和齒側(cè)間隙的單級(jí)齒輪系統(tǒng)非線性動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響。 Gaussian 有色噪聲主要是指幅度分布服從 Gaussian 分布，其功率譜密度函數(shù)在整個(gè)頻域內(nèi)不是均勻分布的隨機(jī)信號(hào)。
除了Gaussian白噪聲和 Gaussian有色噪聲兩種隨機(jī)過(guò)程的方式外，隨機(jī)誤差激勵(lì)還可以通過(guò)服從某種分布規(guī)律的隨機(jī)變量描述，例如，正態(tài)分布，瑞利分布等。正態(tài)分布是一個(gè)在數(shù)學(xué)、物理和工程等領(lǐng)域都非常重要的分布函數(shù)。在實(shí)踐中，如果影響隨機(jī)變量的因素很多，而每一種因素的影響都很小，則可以近似認(rèn)為該隨機(jī)變量服從正態(tài)分布規(guī)律[32]。DRIOT 等[41]將與軸不對(duì)中誤差、齒輪輪齒齒廓誤差和導(dǎo)程誤差有關(guān)的不確定性處理為服從正態(tài)分布規(guī)律的隨機(jī)變量，并運(yùn)用改進(jìn)的 Taguchi’s 方法分析了誤差隨機(jī)性對(duì)齒輪副系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響。隨機(jī)部分的均值為制造誤差的標(biāo)稱值，標(biāo)準(zhǔn)偏差由公差范圍和質(zhì)量等級(jí)確定。BONORI 等[42] 通過(guò) K 齒廓圖(K-chart)得到了服從正態(tài)分布規(guī)律的隨機(jī)制造誤差，并對(duì)比分析了有無(wú)制造誤差時(shí)單自由度齒輪副系統(tǒng)的幅頻特性，其中 K 齒廓圖提供了單個(gè)齒廓相對(duì)于沿輪齒齒廓坐標(biāo)的公差信息。鄧緒山等[43]將影響齒輪系統(tǒng)的基節(jié)誤差和齒形誤差考慮為隨機(jī)變量，并分析了基于隨機(jī)誤差的系統(tǒng)幅頻響應(yīng)。其中，基節(jié)誤差和齒形誤差的均值通過(guò)齒輪精度等級(jí)確定;基節(jié)誤差服從正態(tài)分布，方差通過(guò) 3σ 準(zhǔn)則確定;齒形誤差服從瑞利分布，方差通過(guò)考慮重合度后的等效計(jì)算公式得到。
若認(rèn)為誤差激勵(lì)的不確定性是一種模糊性，則可以通過(guò)模糊模型描述。模糊模型主要處理由“含糊不清”引起的不確定性因素，這里的“含糊不清” 主要是指存在于現(xiàn)實(shí)中的不分明現(xiàn)象。模糊不確定性因素一般表示為模糊數(shù)[44]，主要通過(guò)隸屬度函數(shù)描述。傳統(tǒng)集合論中某個(gè)參數(shù)是否屬于該集合是有明確定義的，隸屬度取為 0 和 1，對(duì)應(yīng)“假”和“真”。而在模糊理論中，隸屬度是一個(gè)在 0 和 1 之間變化的連續(xù)量。考慮對(duì)誤差大小和取值范圍認(rèn)識(shí)的模糊性，李瑰賢等[45]將誤差激勵(lì)假設(shè)為服從模糊正態(tài)分布規(guī)律的模糊變量，其隸屬函數(shù)可表示為 ( ) ( ) ( ( ) ) 2 exp Ae t ne e r rj = −− (3) 式中，ej 是模糊集合 er(t)的界定標(biāo)準(zhǔn);常數(shù) n 和 ej 根據(jù)實(shí)際齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的工作環(huán)境和精度選取。建立了單級(jí)斜齒輪系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模糊微分方程，并給出了相應(yīng)隸屬度下模糊動(dòng)態(tài)響應(yīng)的求解表達(dá)式[45-46]。
1.1.2 剛度激勵(lì)不確定性的描述
相比于誤差激勵(lì)不確定性的描述研究，有關(guān)剛度激勵(lì)不確定性描述的研究工作較少。目前，剛度激勵(lì)的不確定性主要通過(guò)統(tǒng)計(jì)模型描述，具體為服從正態(tài)分布規(guī)律的隨機(jī)變量。王靖岳等[47]通過(guò)服從正態(tài)分布規(guī)律的隨機(jī)變量描述嚙合剛度的不確定性，運(yùn)用四階 Runge-Kutta 數(shù)值積分法分析了三自由直齒輪副系統(tǒng)存在嚙合剛度波動(dòng)項(xiàng)隨機(jī)擾動(dòng)時(shí)的系統(tǒng)穩(wěn)定性問(wèn)題。廖映華等[48]則在嚙合剛度的確定性表達(dá)式后增加了隨機(jī)分量，通過(guò)服從截尾正態(tài)分布規(guī)律的隨機(jī)變量描述其隨機(jī)不確定性，并運(yùn)用 Runge-Kutta 數(shù)值積分法分析了某特種裝備兩級(jí)人字齒輪系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性。
1.2 外部激勵(lì)不確定性的描述
除了齒輪輪齒嚙合產(chǎn)生的內(nèi)部激勵(lì)外，原動(dòng)機(jī)和負(fù)載等其他部件基本特性的不同也會(huì)對(duì)輪齒嚙合產(chǎn)生動(dòng)態(tài)激勵(lì)，這些激勵(lì)統(tǒng)稱為齒輪系統(tǒng)的外部激勵(lì)[23]。考慮皮帶摩擦、電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)的不平穩(wěn)性和波動(dòng)性，齒輪系統(tǒng)的外部激勵(lì)也存在不確定性。外部激勵(lì)的不確定性一般通過(guò)統(tǒng)計(jì)模型描述，具體形式為 Gaussian 白噪聲。PFEIFFER 等[49]研究了隨機(jī)白噪聲激勵(lì)下的齒輪系統(tǒng)拍擊現(xiàn)象。NAESS 等[50]和 MO 等[51]分別運(yùn)用路徑積分法分析了含間隙非線性和偏心誤差的單級(jí)齒輪系統(tǒng)強(qiáng)迫響應(yīng)統(tǒng)計(jì)特征和穩(wěn)定性。YANG 等運(yùn)用統(tǒng)計(jì) Newmark 算法分析了多級(jí)齒輪鏈[52]和行星齒輪傳動(dòng)鏈[53]在確定性和隨機(jī)外載荷下的振動(dòng)特性，其中，載荷的隨機(jī)分量通過(guò)白噪聲序列和白噪聲強(qiáng)度描述。WEN 等[54]則研究了含時(shí)變嚙合剛度和齒側(cè)間隙的單自由度齒輪副系統(tǒng)在諧波和白噪聲激勵(lì)下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性。
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風(fēng)電機(jī)組齒輪箱是齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的重要應(yīng)用之一。由于風(fēng)速的易變性和不可控性，風(fēng)速狀況對(duì)風(fēng)機(jī)系統(tǒng)的運(yùn)行性能有重要影響。近年來(lái)人們開(kāi)始研究風(fēng)機(jī)齒輪箱在隨機(jī)風(fēng)載荷下的動(dòng)態(tài)特性。風(fēng)速模型主要通過(guò)統(tǒng)計(jì)模型進(jìn)行描述，具體為 Weibull 分布模型、組合風(fēng)速模型和基于譜估計(jì)的風(fēng)速模型等三種描述形式。
組合風(fēng)速模型是另一種常用的風(fēng)速模型，主要由平均風(fēng)速、陣風(fēng)、漸變風(fēng)和湍流等成分組成[59]。其中，平均風(fēng)速成分一直存在，主要由風(fēng)電場(chǎng)測(cè)風(fēng)所得的 Weibull 分布參數(shù)近似確定，一般取為常數(shù);陣風(fēng)主要用來(lái)考核在較大風(fēng)速變化情況下的系統(tǒng)波動(dòng)特性，一般具有余弦特性;漸變風(fēng)一般通過(guò)線性函數(shù)的形式描述;湍流主要用于描述指定相對(duì)高度上風(fēng)速變化的隨機(jī)特性。王雷等[60]運(yùn)用組合風(fēng)速模型給出了風(fēng)力機(jī)輸出特性模擬系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方案。組合風(fēng)速模型在低頻區(qū)的功率譜密度較高，高頻區(qū)也存在一定的功率譜密度分布。其主要優(yōu)點(diǎn)在于物理概念清晰、應(yīng)用靈活、可以根據(jù)需要對(duì)不同風(fēng)速分量進(jìn)行組合。
基于譜估計(jì)的風(fēng)速模型是以隨機(jī)風(fēng)速的譜特征為依據(jù)，應(yīng)用隨機(jī)信號(hào)的譜估計(jì)或預(yù)測(cè)方法建立的風(fēng)速模擬模型。常用的功率譜密度函數(shù)有 Von Karman 速度譜、Kaimal 速度譜等。楊軍等[61]利用 Kaimal 譜描述脈動(dòng)風(fēng)速特性，進(jìn)而得到風(fēng)機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)的隨機(jī)風(fēng)載荷，并分析了齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)在隨機(jī)風(fēng)速下的載荷特性。通過(guò)修改 Kaimal 濾波器的參數(shù)，該風(fēng)速模型可考慮不同平均風(fēng)速和湍流強(qiáng)度。基于譜估計(jì)的風(fēng)速模型可以較準(zhǔn)確地體現(xiàn)自然風(fēng)速的功率譜分布，用于模擬短期自然風(fēng)特征非常有效。自回歸滑動(dòng)平均方法 (Auto-regressive and moving-average, ARMA)屬于譜估計(jì)方法的一種。它相當(dāng)于一組數(shù)字濾波器，將白噪聲變?yōu)榻凭哂心繕?biāo)功率譜密度或相關(guān)函數(shù)的離散隨機(jī)過(guò)程或隨機(jī)場(chǎng)。在模擬隨機(jī)風(fēng)速時(shí)，它實(shí)質(zhì)是用 ARMA 模型逼近 von Karman 譜密度函數(shù)。李東東等[62]利用 ARMA 方法建立了具有一定功率譜密度特征的隨機(jī)風(fēng)速模型，并驗(yàn)證了該模型所生成的風(fēng)速序列。秦大同等[63]運(yùn)用 ARMA 風(fēng)速模型分析了風(fēng)機(jī)行星傳動(dòng)系統(tǒng)的純扭轉(zhuǎn)振動(dòng)特性。秦大同等[64]同時(shí)考慮隨機(jī)風(fēng)載荷和發(fā)電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩，研究了在該激勵(lì)下行星齒輪系統(tǒng)的自由振動(dòng)特性和強(qiáng)迫振動(dòng)特性。
汽車(chē)變速箱也是齒輪系統(tǒng)的應(yīng)用領(lǐng)域之一。其主要承受的外部激勵(lì)有電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩激勵(lì)和路面譜激勵(lì)。電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩激勵(lì)是引起變速箱扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的主要激勵(lì)。然而由于驅(qū)動(dòng)電動(dòng)機(jī)電流換向、電樞反應(yīng)和加工工藝等因素，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩將產(chǎn)生隨機(jī)波動(dòng)。汽車(chē)行駛在不平路面時(shí)，將承受隨機(jī)路面譜激勵(lì)。這兩種隨機(jī)激勵(lì)一般通過(guò)實(shí)際測(cè)量或軟件仿真實(shí)現(xiàn)。周云山等[65]通過(guò)實(shí)際測(cè)量得到隨機(jī)波動(dòng)的電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩，運(yùn)用 Road Builder 法創(chuàng)建光滑瀝青路面進(jìn)而得到隨機(jī)路面譜。他們運(yùn)用模態(tài)疊加法分析了這兩種隨機(jī)外激勵(lì)下的變速箱箱體動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性。 OGNJANOVIC 等[66]實(shí)際測(cè)量多組隨機(jī)路面譜數(shù)據(jù)，并運(yùn)用基于可靠性的方法測(cè)試了汽車(chē)齒輪箱在不同隨機(jī)路面譜激勵(lì)下的路面承載能力。李東兵等 [67]也研究了汽車(chē)齒輪系統(tǒng)的外部隨機(jī)激勵(lì)。
1.3 系統(tǒng)參數(shù)不確定性的描述
除了激勵(lì)源具有不確定性外，由于制造、加工與裝配誤差、潤(rùn)滑和使用磨損等原因，齒輪系統(tǒng)的物理參數(shù)和幾何參數(shù)等也會(huì)表現(xiàn)出不確定性。在考慮含不確定性系統(tǒng)參數(shù)的齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題中，系統(tǒng)參數(shù)的不確定性一般通過(guò)統(tǒng)計(jì)模型和區(qū)間模型描述，其中，統(tǒng)計(jì)模型為主要的描述方式。
統(tǒng)計(jì)模型通過(guò)服從正態(tài)分布規(guī)律的隨機(jī)變量描述系統(tǒng)參數(shù)的不確定性。關(guān)注的不確定性參數(shù)主要有質(zhì)量參數(shù)、齒側(cè)間隙和阻尼比等。假設(shè)隨機(jī)間隙為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，陳思雨等[13]對(duì)比分析了含固定間隙、時(shí)變間隙和隨機(jī)間隙的齒輪副系統(tǒng)時(shí)域和頻域響應(yīng)特性。劉夢(mèng)軍等[68]分析了考慮隨機(jī)齒側(cè)間隙和時(shí)變嚙合剛度的齒輪副系統(tǒng)全局初值特性。LU 等[69]利用分岔圖、相平面圖和最大 Lyapunov 指數(shù)等方式對(duì)考慮隨機(jī)間隙的齒輪副系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性進(jìn)行了分析。GUERINE 等[70]分別分析了質(zhì)量、阻尼系數(shù)、彎曲剛度、扭轉(zhuǎn)剛度的隨機(jī)不確定性對(duì)單級(jí)齒輪系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響規(guī)律，并分析了這些隨機(jī)參數(shù)的綜合影響。GUERINE 等[71] 假設(shè)摩擦因數(shù)為服從平均分布規(guī)律的隨機(jī)變量，分析了隨機(jī)摩擦因數(shù)對(duì)單級(jí)齒輪系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響規(guī)律。針對(duì)系統(tǒng)各構(gòu)件質(zhì)量參數(shù)，王世宇等[72]通過(guò)假設(shè)這些參數(shù)均服從正態(tài)分布規(guī)律，分析了模態(tài)躍遷對(duì)行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)模態(tài)統(tǒng)計(jì)特性的影響情況。 PERRET-LIAUDET 等[73]假設(shè)黏性阻尼比、固有頻率和剛度激勵(lì)幅值均為統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的 Gaussian 隨機(jī)變量，利用改進(jìn)的 Taguchi 方法分析了含參數(shù)不確定性的齒輪副系統(tǒng)在主共振區(qū)域的幅頻特性。魏永祥等[74]在齒輪-轉(zhuǎn)子四自由度純扭轉(zhuǎn)模型的基礎(chǔ)上，考慮系統(tǒng)幾何參數(shù)、材料參數(shù)及外部載荷均具有隨機(jī)性，討論了含隨機(jī)系統(tǒng)參數(shù)的齒輪-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在隨機(jī)激勵(lì)下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性。LU 等[75]分析了激勵(lì)頻率、阻尼比和間隙等系統(tǒng)參數(shù)具有隨機(jī)攝動(dòng)時(shí)的齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的非線性統(tǒng)計(jì)動(dòng)力學(xué)特性。王靖岳等[76]分析了激勵(lì)頻率、阻尼比、齒側(cè)間隙和嚙合剛度的隨機(jī)擾動(dòng)對(duì)單級(jí)三自由度齒輪系統(tǒng)分岔特性的影響。
雖然統(tǒng)計(jì)模型在理論研究與工程應(yīng)用上十分普遍，但該模型是基于大量樣本信息的。在不確定性因素的統(tǒng)計(jì)信息很難得到或者無(wú)法獲取時(shí)，統(tǒng)計(jì)模型將很難被應(yīng)用。相比而言，區(qū)間模型主要通過(guò)區(qū)間數(shù)描述不確定性參數(shù)，所需的不確定性信息容易獲取。區(qū)間模型最早用于處理計(jì)算機(jī)運(yùn)算時(shí)由截?cái)嗪蜕崛胝`差造成的數(shù)值計(jì)算誤差問(wèn)題[77]。近些年，其在數(shù)值計(jì)算理論[78-79]和工程應(yīng)用[80-81]等方面已得到廣泛應(yīng)用。在齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的不確定性分析中，區(qū)間模型屬于一種相對(duì)較新的不確定性描述方式。目前，相關(guān)的應(yīng)用較少。DONG 等[82] 通過(guò)區(qū)間數(shù)描述切向力、工況系數(shù)、動(dòng)載系數(shù)、沿輪齒方向的載荷分布、材料特性和輪齒形狀因子等參數(shù)的不確定性，以疲勞強(qiáng)度靈敏度最小化為設(shè)計(jì)目標(biāo)優(yōu)化風(fēng)機(jī)齒輪傳動(dòng)的系統(tǒng)參數(shù)。段文峰[83]通過(guò)區(qū)間數(shù)描述載荷、裂紋長(zhǎng)度和斷裂韌度等影響齒輪斷裂的不確定性因素，結(jié)合響應(yīng)面法和 Taylor 級(jí)數(shù)展開(kāi)提出了一種齒輪斷裂可靠性分析的非概率方法。
2 動(dòng)力學(xué)方程的求解方法
動(dòng)力學(xué)建模是齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程求解的基礎(chǔ)。根據(jù)建模時(shí)考慮的因素和使用的方法，齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型有集中質(zhì)量模型、分布質(zhì)量模型和剛?cè)狁詈夏Ｐ偷取８鶕?jù)研究現(xiàn)狀，人們主要針對(duì)集中參數(shù)模型展開(kāi)相關(guān)的不確定性分析。
由集中參數(shù)方法得到的動(dòng)力學(xué)方程為二階運(yùn)動(dòng)微分方程組。當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)和激勵(lì)是確定性函數(shù)時(shí)，可通過(guò)經(jīng)典的數(shù)學(xué)分析方法進(jìn)行求解。例如，數(shù)值方法[23]或近似解析法[84]。然而，實(shí)際系統(tǒng)往往存在很多不確定性因素，例如加工、制造等的誤差、系統(tǒng)運(yùn)行環(huán)境的不確定變化。顯然，這些問(wèn)題通過(guò)經(jīng)典的數(shù)學(xué)分析方法和微分方程并不能給出正確描述[85]。針對(duì)上述不確定性問(wèn)題，統(tǒng)計(jì)模型、區(qū)間模型和模糊模型三種不確定性因素描述方式對(duì)應(yīng)統(tǒng)計(jì)方法、區(qū)間方法和模糊方法三類(lèi)分析方法，其中，統(tǒng)計(jì)方法是動(dòng)力學(xué)方程求解的主要方法，包括統(tǒng)計(jì)線性化法、隨機(jī)平均法、統(tǒng)計(jì) Newmark 法、路徑積分法、Monte Carlo 仿真、隨機(jī)攝動(dòng)法、改進(jìn)的 Taguchi 方法和隨機(jī)因子法。
統(tǒng)計(jì)線性化法[86]的基本出發(fā)點(diǎn)是尋找一個(gè)等效的線性系統(tǒng)，使之與原來(lái)的非線性系統(tǒng)之間的均方“殘差”最小。該方法的精度主要取決于非線性系統(tǒng)的真解偏離 Gaussian 分布的程度。TOBE 等[25] 針對(duì)一對(duì)齒輪副模型，建立了考慮隨機(jī)傳遞誤差，梯形變剛度和齒輪間隙的非線性隨機(jī)動(dòng)力學(xué)方程，在已知初始分布和轉(zhuǎn)移概率密度的情況下，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)線性化方法求解了系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)微分方程。YANG 等[52]運(yùn)用統(tǒng)計(jì)線性化技術(shù)和統(tǒng)計(jì) Newmark 算法求解了確定性和隨機(jī)載荷下含時(shí)變嚙合剛度和齒側(cè)間隙的多級(jí)齒輪系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程。
隨機(jī)平均法是將隨機(jī)平均原理和 FPK 方程法相結(jié)合的一類(lèi)近似方法，主要分為標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)平均法、 FPK 方程系數(shù)平均法和能量包線隨機(jī)平均法三種[87-88]。由隨機(jī)平均原理[89]可知，在一定條件下，線性或非線性系統(tǒng)對(duì)非白噪聲激勵(lì)的響應(yīng)可以近似為二階 Markov 擴(kuò)散過(guò)程。該近似擴(kuò)散過(guò)程的 FPK 方程的漂移系數(shù)和擴(kuò)散系數(shù)可以由給定動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)碾S機(jī)平均或隨機(jī)平均連同對(duì)時(shí)間的平均獲得，求解平均后的 FPK 方程就可以得到原系統(tǒng)響應(yīng)的近似解。實(shí)質(zhì)上，隨機(jī)平均法是通過(guò)隨機(jī)平均或者連同對(duì)時(shí)間的確定性平均得到一個(gè)與原系統(tǒng)等效的受白噪聲激勵(lì)的近似系統(tǒng)[90]。針對(duì)含間隙和隨機(jī)誤差激勵(lì)的單級(jí)齒輪系統(tǒng)，SATO 等[33] 運(yùn)用隨機(jī)平均法得到了該系統(tǒng)的振動(dòng)統(tǒng)計(jì)特征，并討論了在隨機(jī)激勵(lì)下非線性跳躍現(xiàn)象的發(fā)生條件。隨后 SATO 等[91]運(yùn)用隨機(jī)平均法給出了隨機(jī)外激勵(lì)下齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的近似解。——論文作者：魏 莎 韓勤鍇 褚福磊
