概率量化了一件事情发生的可能性。而条件概率嘛,比如说,你家楼下住了一位每天慢跑10公里的爷爷,那么他能顺利切到70岁蛋糕的概率,铁定比台湾人平均能活到70岁的概率大上许多,因为健康的他只要再活一天就可以了。

 
 从远古开始,“无穷”就一直是人类认知领域永远的迷局。上古时代,人类祖先仰观日月经天,俯察江河行地,发出的是跟我们现在一样的疑惑:时空有没有尽头?天外有天,是无穷的吗?如果有穷,有穷之外又是何物?如果无穷,又岂可永远无边无际?时间有没有起点,又有没有终点?先秦时屈原《天问》就明确提出了这些永恒的疑问:“日月安属?列星安陈?”……人类最初直观上感知到的无穷就是空间上的无穷大,就是大海,天空。任何人只需轻轻仰头一望,一个关于无穷的永恒疑问就这样摆在那里,光天化日明目张胆地摆着。泰戈尔(Tagore,
印度诗人)曾经用诗意的句子表达过这个命题:
海,你问的啥咧?是永恒的疑问。天,你说的啥咧?是永恒的沉默。

希尔伯特旅馆悖论(Hilbert’s paradox of Grand Hotel)

希尔伯特旅馆有无限个房间,并且每个房间都住了客人。一天来了一个新客人,旅馆老板说:“虽然我们已经客满,但你还是能住进来的。我让
1 号房间的客人搬到 2 号房间,2 号房间搬到 3 号房间⋯⋯n 号房间搬到 n+1
号房间,你就可以住进 1
号房间了。”又一天,来了无限个客人,老板又说:“不用担心,大家仍然都能住进来。我让
1 号房间的客人搬到 2 号房间,2 号搬到 4 号,3 号搬到 6 号⋯⋯n 号搬到 2n
号,然后你们排好队,依次住进奇数号的房间吧。”

这就是德国大数学家大卫·希尔伯特(David
Hilbert)提出的著名悖论。每个学过集合论的学生,都应该“拜访”过这个奇妙的希尔伯特旅馆。虽然人们把它叫做一个“悖论”,它在逻辑上却是完全正确的,只不过大大出乎我们的意料罢了。一扯上无限,有趣的事说也说不完。意大利数学家伽利略(Galileo
Galilei)在他的最后一本科学著作《两种新科学》(Two New
Science)中提到一个问题:正整数集合 {1, 2, 3, 4, ⋯⋯} 和平方数集合 {1, 4,
9, 16, ⋯⋯}
哪个大呢?一方面,正整数集合里包含了所有的平方数,前者显然比后者大;可另一方面,每个正整数平方之后都唯一地对应了一个平方数,两个集合大小应该相等才对。伽利略比较早地使用了一一对应的思想,可惜没有沿着这个思路更进一步思考下去。最后他得出的结论就是,无限集是无法比较大小的。说到这里,我们不得不提到德国另一位伟大的数学家乔治·康托(George
Cantor),他建立了集合论(set
theory),并系统地研究了集合(尤其是无穷集合)的大小,只不过这个大小不是简单地叫做“大小”了,而是叫势(cardinality)。如果两个集合间的元素能建立起一一对应的关系,我们就说它们等势,这也是我们比较集合大小的方式。希尔伯特悖论形象地说明了正整数集合和正偶数集合是等势的。一切和自然数集合等势的集合都称为“可数集合”(countable
set),否则就叫做“不可数集合”(uncountable set)。

给定某个条件下某个事件发生的可能性,即称为条件概率。

88必发 1

托里拆利小号(Torricelli‘s Horn)

88必发 2

又到几何悖论时间了。上面这个小号状的图形有什么特点?

意大利数学家托里拆利(Evangelista Torricelli)将 y=1/x 中 x≥1 的部分绕着
x
轴旋转了一圈,得到了上面的小号状图形(注意,上图只显示了这个图形的一部分)。然后他算出了这个小号的一个十分牛
B 的性质——它的表面积无穷大,可它的体积却是
π。这明显有悖于人的直觉:体积有限的物体,表面积却可以是无限的!换句话说,填满整个托里拆利小号只需要有限的油漆,但把托里拆利小号的表面刷一遍,却需要无限多的油漆!

类似的二维几何悖论中,最著名的要属“科赫雪花”(Koch
Snowflake)了。科赫雪花是一种经过无穷多次迭代生成的分形图形,下图就是前三次迭代的过程,迭代过程的极限便是科赫雪花了。它也有一个类似的性质:它的面积有限,周长却是无限的。用无限的周长包围了一块有限的面积,真是另类的“无中生有”啊!

88必发 3

如果还不清楚,请想像这样的场景:

 
 后来古人又认识到了时间上的无穷,《淮南子》“往古来今谓之宙,四方上下谓之宇”。再后来人们又意识到,除了无穷大的量还有无穷小。庄子“至大无外,谓之大一;至小无内,谓之小一”,可谓对无穷大与无穷小最早的经典表述。至此,人类对于无穷的初步直观感性认识已经完成。那就是,无穷是一个迷局,一个永恒的悖论。

芝诺悖论(Zeno’s paradoxes)

芝诺悖论是由古希腊哲学家芝诺(Zeno)提出的一组悖论。其中的几个悖论还可以在亚里士多德(Aristotle)的《物理学》(Physics)一书中找到。最有名的是以下两个。

阿基里斯与乌龟的悖论(Achilles and the tortoise
Paradox):在跑步比赛中,如果跑得最慢的乌龟一开始领先跑得最快的希腊勇士阿基里斯,那么乌龟永远也不会被阿基里斯追上。因为要想追到乌龟,阿基里斯必须先到达乌龟现在的位置;而等阿基里斯到了这个位置之后乌龟已经又前进了一段距离。如此下去,阿基里斯永远追不上乌龟。

二分法悖论(Dichotomy
Paradox):运动是不可能的。你要到达终点,必须首先到达全程的 1/2
处;而要到达 1/2 处,必须要先到 1/4
处⋯⋯每当你想到达一个点,总有一个中点需要先到,因此你是永远也到不了终点的。其实,你根本连动都动不了,运动是不可能的。

罗素(Bertrand
Russell)曾经说过,这组悖论“为从他那时起到现在所创立的几乎所有关于时间、空间以及无限的理论提供了土壤”。阿尔弗雷德·诺斯·怀特海德(Alfred
North
Whitehead)这样形容芝诺:“知道芝诺的人没有一个不想去否定他的,所有人都认为这么做是值得的”,可见争议之大。无数热爱思考的人也被这些悖论吸引,试图给这些出人意料的结论以合理的解释。

当古希腊哲学家第欧根尼(Diogenes)听到芝诺的“运动是不可能的”这个命题时,他开始四处走动,以证明芝诺的荒谬,可他并没有指出命题的证明错在哪里。

亚里士多德对阿基里斯悖论的解释是:当追赶者与被追者之间的距离越来越小时,追赶所需的时间也越来越小。他说,无限个越来越小的数加起来的和是有限的,所以可以在有限的时间追上。不过他的解释并不严格,因为我们很容易举出反例:调和级数
1+1/2+1/3+1/4+…… 的每一项都递减,可是它的和却是发散的。

阿基米德(Archimedes)发明了一种类似于几何级数求和的方法,而问题中所需的时间是成倍递减的,正是一个典型的几何级数,所以追上的总时间是一个有限值。这个悖论才总算是得到了一个过得去的解释。直到
19 世纪末,数学家们才为无限过程的问题给出了一个形式化的描述。

尽管我们可以用数学方法算出阿基里斯在哪里以及什么时候追上乌龟,但一些哲学家认为,这些证明依然没有解决悖论提出的问题。出人意料的是,芝诺悖论在作家之中非常受欢迎,列夫·托尔斯泰在《战争与和平》中就谈到了阿基里斯和乌龟的故事,路易斯·卡罗尔(Lewis
Carroll)写了一篇阿基里斯和乌龟之间的对话,阿根廷作家豪尔赫·路易斯·博尔赫斯(Jorge
Luis Borges)也多次在他的作品中谈到阿基里斯悖论。

 
 之后,对无穷的思考开始进入人类精确思维领域,西方和东方的先哲似乎都同时注意到了类似的现象。

球与花瓶(Balls and Vase Problem)

我们有无限个球和一个花瓶,现在我们要对它们进行一系列操作。每次操作都是一样的:往花瓶里放
10 个球,然后取出 1
个球。那么,无穷多次这样的操作之后,花瓶里有多少个球呢?

有人或许会说,这个问题显然是荒谬的——这个过程需要耗费无穷的时间,我们不可能等到那个时候。那么,我们不妨换一个问法,避开所需时间无穷的问题:在差一分钟到正午
12 点时进行第 1 次操作,在差 30 秒(1/2 分钟)到正午 12 点时进行第 2
次操作,在差 1/2 n-1 分钟到 12 点时进行第 n 次操作。那么,12
点的时候,花瓶里有几个球呢?

看似简单的描述,经过数学家的解释,却出现了千奇百怪的答案。最直观的答案当然就是花瓶里有无限个球了,因为每次都增加了
9 个球,无限次之后,当然有无限个球。数学家 Allis 和 Koetsier
却不这么认为。他们认为,12 点时瓶子里没有球,因为我们第 1 次放进 1 至 10
号球,然后取出 1 号球,第 2 次放入 11 至 20 号球,然后取出 2
号球⋯⋯注意到,n 号球总是在第 n
次操作时被取出来了,因此无限操作下去,每个球都会被取出来!细心的读者会发现,这个说法也有问题:前面的证明假设我们取出的依次是
1 号球、2 号球、3 号球等等,如果我们改成依次取 10 号球、20 号球、30
号球,那么最后瓶子里又出现了无限个球了。哪种观点是正确的呢?于是逻辑学家詹姆斯·亨勒(James
M. Henle)和托马斯·泰马祖科(Thomas
Tymoczko)认为,花瓶里有任意个球。他们还给出了具体的构造方法,说明最终花瓶里的球可以是任意数目。

1953 年,这个悖论由英国数学家利特尔伍德(John Edensor
Littlewood)在他的书《一个数学家的集锦》(A Mathematician‘s
miscellany)中首先提出,1976 年谢尔登·罗斯(Sheldon
Ross)在他的《概率论第一课》(A First Course in
Probability)又一次介绍了这个问题,所以它又被称为“罗斯·利特尔伍德悖论”(Ross-Littlewood
Paradox)。

那是一个星期五的傍晚,珮颖独自走在夕阳下。在她转入小巷子时,她突然看到一位男子向她招手。还没反应过来,珮颖听见身后引擎声响。回头一看,一台老旧的汽车正要通过。珮颖赶紧让到一边。汽车卷起灰尘离去,男子挥挥手咳了几声。珮颖这下看清楚他身上的工作证了。

 
 西方的芝诺(Zeno)最初提出了“芝诺悖论”,他深切地感到人类对于无穷的矛盾理解会产生悖论。首先芝诺构造了一个“运动是不可能的”所谓两分法悖论,大致是说,如果要从A点运动到B点,那么你必须要先运动到A和B之间的中点C,而你要到达C点,又必然要先到达A和C的中间点D……如此无穷推演下去你将不得不先经过无穷无尽多个中点,然而你不可能实现到达无穷无尽的点,所以运动是不可能实现的。这个悖论由于规定了均分点(需平均分段)而显得好像不太具有一般性的普适意义,所以芝诺又提出了著名的“阿基里斯追龟”悖论,即乌龟和擅跑之神阿基里斯(Achilles)赛跑,先让乌龟在阿基里斯前面一段路再让阿基里斯去追这只龟,芝诺说阿基里斯要追上乌龟必须首先要到达乌龟的出发点,而当阿基里斯到达乌龟的原出发点时,乌龟必定又往前跑了一小段,无论它跑得多慢其跑过的路程也必然是一个大于零的正数。现在龟在前面一小段,阿基里斯要追上龟那么又得继续这个过程,跑到乌龟的位置,然而乌龟在这段时间又必然往前跑了更小的一小段……
这样无穷无尽地跑下去,所以结论是阿基里斯永远也追不上乌龟。而且这个方法逻辑上确保了乌龟总是跑在前头而不必把所需通过的路程一再地平分,所以比两分法更加生动有力,更普适。这实际上是对时间和空间无穷可分的诘难。然而,如果你据此认为时间和空间不能无穷可分,运动是一个非连续的过程,芝诺马上又提出了“飞矢不动”悖论,射出去的箭在空中飞行的一个瞬间,此箭必定只能占据与它本身体积完全等同的一个固定大小的空间,所以箭在此瞬间是不动的。同理,在其他任何瞬间,此箭也都是像这样不动的,所以射出去的箭是不动的。同样的,东方的先哲也有类似的命题。《庄子·天下》“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,这就是芝诺两分法,公孙龙“飞鸟之影未尝动也”,“镞矢之疾而有不行不止之时”,就是芝诺的飞矢不动悖论。究其根本就是人类对于无穷小量的认识存在矛盾。

无限长的杆(Infinite Rod)

有一张无限大的桌子,上面竖直地插着一根有限长的支柱。然后取一根无穷长的金属杆,把它的一头铰接在支柱顶端,另一头则伸向无穷远处。金属杆可以绕着支柱顶端自由地上下转动。假设金属杆和桌子都是无比坚硬的刚体。你会发现,这根无限长的金属杆根本不会往下转动!因为金属杆和桌子都很坚硬,如果它们相交,必然会损坏一个,所以唯一的办法就是金属杆与桌面平行。那么我们看到的现象就是一根无限长的金属杆,在空中仅仅靠一个点就保持水平!

这个有趣的问题是由数学家雷蒙德·斯穆里安(Raymond
Smullyan)在一本庆祝马丁·加德纳 90
岁生日的书中介绍的。另外,如果我们把铰接的点移到金属杆的中部,那么金属杆就动弹不得,稳稳地和桌面平行了!

那年珮颖25岁,子威29岁。距离台湾男女平均寿命,各自还有57年与47年。

 
 东方的名家、墨家最早提出的这些逻辑哲学上的悖论,由于名家与墨家的迅速衰落而未被足够重视,这些悖论也仅成为茶余饭后的戏论,沦为儒家道家借以取笑这些玩弄逻辑游戏的辩士的笑柄,天选子之形,子以坚白鸣。后来三国时期的刘徽,借助无穷可分的思想发明“割圆术”来求圆的面积、圆柱的体积,或可算是对无穷小量灵活运用的一次成功尝试。(至于为何东方哲学不像西方哲学那样爱智求真而把这些重要的哲学命题视为笑柄轻易略过,这是另一个重要的课题,我有另文论述。)

   
相较于东方世界对哲学、科学、逻辑学的漠视(而对人伦关系重视),西方哲人对这些悖论的思考却从未停止。古希腊时期人们无法准确定义和理解这种无穷小,所以当时数学上对无穷小采取的方法是粗暴的“禁用”。古希腊欧几里得的几何学就不得使用无穷小。由于谁也说不清这个无穷小的量,干脆都别提。直到十七世纪,牛顿(Isaac
Newton)和莱布尼兹(Gottfried Wilhelm
Leibniz)发明微积分这种数学算法,开始用无穷小量定义微积分。不得不说牛顿和莱布尼兹是欧洲十七世纪最耀眼的大神,其牛逼的程度路人皆知,无需赘言。当时他们对微积分的定义方法是通过导数(那时称流数,就是瞬时速度,切线斜率,即现在的导数),采用无穷小作为分析工具。导数就是瞬时速度。已知连续运动的路径,求给定时刻的速度(即微分法);已知运动的速度,求给定时间内经过的路程(即积分法),这是牛顿1671年在《流数术和无穷级数》提出的核心问题。莱布尼兹1684年发表微积分的文献,从几何学的角度正式解答这些问题。

星期五傍晚,珮颖在夕阳下踱步,落日的余温被玻璃隔绝在外,窗户这侧只剩冰冷的空调,医疗仪器的声响替时间画下一道道刻度。珮颖坐回病床旁,子威伸过手来握住珮颖,两人相视微笑。

    另一方面,对于时空的无穷性的追问,哲学家康德采用了另一种方式:
时间和空间概念是人类理解世界的方式。时空并非是一种客观存在。此思想在他的“二律背反”命题中有论述。

“50年了,这一切过得真快。”

 
 这些科学、哲学大神的研究和发现,使得哲学、科学、人类理性的作用越来越明显,而宗教神学相比之下却显得每况愈下。科学每进一步,神学就退一步,而十七世纪牛顿又显著地加快了这个“人进神退”的过程。比如,最初人类相信,凡运动体皆有灵,太阳月亮周而复始运动,那是太阳神月亮神促使其运动,地球上动物跑跳,可以运动,是因动物有灵。有灵才能有力,有力才能运动。然而牛顿说,力不是运动的原因,力是改变物体运动状态的原因,并提出著名的牛顿三大定律。神学说星球的运动是完美的圆周运动,因为神是完美的所以其运动必定也是完美的圆。然而牛顿计算出星球是类似椭圆的运动。各天体如此运动是由于万有引力的作用。在科学面前,神学节节败退。也难怪宗教界对科学界势同水火,视之为异端邪说,欲烧之而后快(如布鲁诺Giordano
Bruno就被视为异端而烧死在罗马鲜花广场了)。
   当牛顿和莱布尼兹的微积分提出时,英国大主教、唯心哲学家贝克莱(George
Berkeley)于1734写文章攻击微积分定义的无穷小量是一个“已消失的量的幽灵”。不得不说,主教的这个说法,虽然是出于神学与科学势难两立的斗争需要,但是也确实具有一定的合理性。按照当时牛顿莱布尼兹的微积分定义,贝克莱明确提出了求X’2导数的等式:在下述等式中,3式的无穷小量为零,而1式的无穷小不为零。

这一年,珮颖75岁,距离台湾女性平均寿命还有7年;子威79岁,超过男性平均寿命3年。

88必发 4

   
这个问题牛顿自己也无法圆满地解释,莱布尼兹亦不能自圆,后来就被称之为“贝克莱悖论”,此矛盾直到十九世纪才最终得以基本解决。从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的数学分析工作开始,到威尔斯特拉斯、狄德金和康托尔的研究工作结束,中间经历了许多数学家的努力,才终于为数学分析奠定了一个逻辑严密的基础。波尔查诺给出了连续性的正确定义;柯西运用数学极限的概念,指出无穷小和无穷大都不是固定的量而是变量,无穷小量就是以零为极限的变量;重新定义了导数和积分;威尔斯特拉斯最终给出极限、连续的定义,建立了实数理论,用极限的方法来定义导数、积分的概念。康托尔则是运用集合论重新改造数学的底层逻辑,把数学建立在严密的集合论的基础之上。因为集合论是看起来最简单最普适的理论模型,只需要定义最少的概念如集合、集合运算(相等,包含等)即可。至此,所谓“数学史上的第二次危机”才终于告一段落。

“这几年辛苦你了。”

子威拿下氧气罩,气若游丝,距离诊断出癌症的那天到现在过了7年,前天他才刚从加护病房出来。

“你才辛苦,已经超过平均寿命3年了,你做的很棒。”

珮颖开玩笑地说。子威摇摇头,眼神望向床头柜上的笔记本,珮颖替他拿过来,里面满满的数学式子。

“还没,我还没赢过我这年纪的预期平均寿命。”

“你这年纪的平均寿命?”

子威休息了一下,一个字一个字慢慢说

“我后来才知道,平常说的是平均寿命是指‘刚出生时所预期的平均寿命’,是最短的预期平均寿命。随着年纪增长,我们预期能够活的平均寿命就会慢慢变长。”

“为什么?”

“举个例子来说,4个同时出生的人,各自活到4岁、10岁、60岁、70岁。这样平均寿命是几岁?”

“36岁。”

“5岁时,剩下3个人,这3人的平均寿命是46.7岁。
换句话说,给定活到5岁时,平均寿命从刚出生的36岁,提升到46.7岁。增加了10.7年。”

“听起来有点像条件概率?”珮颖回答。

他们夫妻的数学都不错。

“年纪越大,样本空间里年轻早逝的人被排除在外,我们预期他们能够活的平均寿命就会越来越长。假设y是表示寿命的随机变数,则x岁时的寿命期望值为——”

笔记本上写着:

88必发 5

“其中,P(y|x)是指给定x岁的人,寿命为y岁的条件概率。只要活到40岁,能活到70岁的概率就会比20岁时能活到70岁的概率更大。用数学式子表示是P(y=70|x=40)
> P(y=70|x=20)。”

子威接过笔记本,翻页又是一大堆算式:

88必发 6

“我们再来定义一个‘x岁的平均剩余寿命’,意思是x岁的人平均还能再活几年。它的数学式子是,”他指着第二个加总符号说:“取k’ =k+1,可以得到结果为——”

88必发 7

“换句话说,x岁的平均剩余寿命,就是把‘给定x岁后,还会活k年的概率’,从k=1到k=∞累加起来。”

子威笑了,那笑容像在草地里捡到弹珠的小男孩,跑回来跟朋友炫耀的表情。

“我查过了台湾官方的国民寿命表。在我这年纪的男性……竟然平均剩余寿命还有8.3年。照你的标准来要求,我还有8年要努力呢……做你的老公……真辛苦。”

“那就辛苦你了,请再为了我多活几年。”

当晚半夜,子威紧急被送回加护病房。凌晨,珮颖签下放弃急救同意书。

88必发,星期五傍晚,珮颖站在夕阳下。

应该不可能习惯身边没有子威吧——不,不是不可能习惯,是我不希望习惯。

“奶奶你还好吗?”

“奶奶你搬过来跟我们住好了。”

孙女试探性地问。珮颖知道孙女担心独居的自己触景生情。
“你放心,奶奶很坚强,可以照顾好自己,还能活很多年的。你爷爷教过我一套观念……”

珮颖向孙女解释起应用到条件概率的平均剩余寿命:“照你爷爷的说法,我还有11年好活。太早去铁定会挨你爷爷骂的。”

一旁还在念高中的小孙子插嘴说道:

“可是奶奶,这观念有点奇怪,因为概率恒正,不管到几岁,平均剩余寿命永远是正的,表示当下的预期平均寿命永远会大于当下的年纪,那不就是说,人类可以永远活下去——”

的确,这听起来有点像芝诺悖论:乌龟跟阿基里斯赛跑,每当阿基里斯快要追上乌龟,乌龟都会趁着阿基里斯追赶所花的时间,再往前移动一点,阿基里斯又得再追赶。不论靠多近,乌龟永远有一小段时间可以再前进,阿基里斯永远追不上乌龟。

小孙子没说错,给定现在的年龄,只要没破人瑞(常指年纪100岁以上的人)纪录,永远有人活得更久。平均剩余寿命永远大于零,永远可以活下去。

但跟芝诺悖论不一样,芝诺悖论有数学上的问题;剩余寿命的观念尽管看起来不合理,但在数学上完全正确,没有漏洞。剩余寿命永远恒正,但那终究只是期望值,还是会有很多人在没活到那年纪之前就先离开。

这是体贴的子威留给她最后的礼物,一道用完美数学构成的甜言蜜语。(编辑:球藻怪)

文章经作者本人授权转载,转载时文字有修改。

文章题图:站酷网海洛创意