看到哪个数,你会觉得最孤独?

《时间之问》是一部作者和学生对话交流的“记录”,选取“时间”作为跨学科讨论的媒介,联接起数学、天文、历史、集成电路、中国古代文化等不同学科,这些话题像一颗颗散落的珍珠,被“时间”这根主线串联起来。这里既可以遇到祖冲之、郭守敬、庞加莱、Price等大科学家,也会发现庄子、博尔赫兹、史铁生、柏拉图等文哲大家。

《时间之问》是一部作者和学生对话交流的“记录”,选取“时间”作为跨学科讨论的媒介,联接起数学、天文、历史、集成电路、中国古代文化等不同学科,这些话题像一颗颗散落的珍珠,被“时间”这根主线串联起来。这里既可以遇到祖冲之、郭守敬、庞加莱、Price等大科学家,也会发现庄子、博尔赫兹、史铁生、柏拉图等文哲大家。

有人会说是1,因为它孤身一人。有人会说是0,因为它没有任何存在感。有人会说是214,有人会说是419(咦)。这些都是字面上的直接联想,因人而异,很难说哪个比哪个更加孤独。

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然而对一个学过数学的人来说,确实存在一个最“孤独”的数。这个数就是所谓的黄金分割率φ。许多人说它是最美的数,美不美这种事情是一个主观概念——但我们能从数学上证明,它是最“无理”的数,最难以接近的数,因而在这个意义上,是最孤独的数。

内容梗概:连分数不仅可以应用于天文历法,还可以表示祖冲之提出的近似圆周率的密率和约率,并且和黄金分割有着紧密联系。连分数就像一台三维CT扫描机,一个表面上看没有任何规律的数字放到连分数下面立刻呈现出内部构造之美!


88必发 1图片来源:www.cosmomyth.com


《时间之问7》一张A4纸引发的神秘数字

越走越近,却永远不能在一起

一个无理(irrational)数有很多种表现方式。我们最熟悉的是无限不循环小数的形式,每多写下一位数,就是用一个更加精确的有理(rational)数去逼近它。当然,这个过程永远到不了尽头。

但是无理数也可以用分数的形式表现,只不过这个分数也是无穷无尽的——这就需要“连分数”。不要怕,这里的全部数学只是加减乘除和通分,不超过小学五年级。

先用一个有理数作为例子:1024/137,约等于7.47445255。

第一级近似:7,于是它变成了 7 + 65/137。

第二级近似:把第一级留下的分数倒过来,137/65 近似是2,于是它变成了 2 +
7/65,于是开始的那个数字就变成了 7 + 1 / ( 2 + 7/65 )。

第三级近似:对7/65进行类似处理,以此类推。

最后得到的结果是

88必发 2

或者,省去那些多余的1,可以表达为 [7; 2, 9, 3, 2]。

能够证明,每一个有限的连分数都代表一个有理数,而每一个有理数能且只能表示成两种形式的连分数(要求第一个系数是整数,剩下的全是正整数)。比如上面那个数也可以表示为 [7; 2,
9, 3, 1, 1]。除这两种之外再没有别的写法了。

同样的步骤完全适用于无理数,但这时得到的连分式就会一直延续下去。比如,π的连分式可以表示为

88必发 3

或者用简化的表达式:[3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1,
1, 2, 2, 2,
…]。这个数列在“整数数列线上大全”(OEIS)中的编号是A001203。

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不习惯看公式可以参看无公式版本:《时间之问7-无公式版》一张A4纸引发的神秘数字

一步一米,或者一步十年

使用连分数来逼近,就会遇到一个“逼近速度”的问题:每前进一步,近似值向精确值靠近了多少呢?

回到π的例子。我们先看第一位近似——7。忽略后面剩下的:

π ≈ 3 + 1/7 = 22/7 
3.142…

熟悉吗?这就是当年祖冲之发现的“约率”。

如果接下来看到第三位近似:

π ≈ 3 + 1 / ( 7 + 1 / (15 + 1) ) = 3 + 1 / ( 113 / 16 ) =
355/113 
3.1415929…

也即祖冲之的“密率”。二者都是对π的极好的近似。

这就是连分数的一个神奇属性:当你得到一个连分数后,你就自动获得了“最快”的逼近精确值的方式。这有点违反直觉——当你用7作为分母的时候,最小的单位就是1/7,那么误差范围应该是1/14以内吧?实际上,使用连分数获得的误差范围不是1/14以内,而是1/49以内! 22/7

  • π ≈ 0.0126 < (1/7)^2。

更一般地,假如一个无理数α,它的某一步连分式展开后变成了 p / q
的形式,那么一定有

| α – p/q | < 1 / q^2

而且,
这一定是当前最好的精确值,任何比它更精确的分式都一定需要更大的分母。π的前三级展开,分别是
22/7、333/106、355/113;你在1-6的范围内一定找不到比7更好的,1-112的范围内一定找不到比113更好的。但是,7却比8、9、10……都要好。因此可以说,连分数在某种意义上揭示了一个无理数的深层结构。

那么回到我们开始的问题。最快的逼近速度有多快?从上面的公式可以看出来,这完全取决于连分式里具体的每个数——数字越大逼近越快,数字越小逼近越慢。祖冲之能发现约率和密率,部分原因是因为他运气好,π开头的这俩数正好都不小,所以能给出很漂亮的逼近。

而最小的正整数,当然就是1了。



黄金分割率,最漫长的旅程

如果有这样一个数:[1; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, …] 

或者,

88必发 4

你肯定猜到了,这就是传说中的黄金分割数φ,1.61803398…
如果去掉前面的1就会得到另一个常见形式:0.618…
 而这两个数正好互为倒数。从连分式这个形式就能看出来为什么。

88必发 5

我们试着逼近一下,得到的是

88必发,2/1 = 2

3/2 = 1.5

5/3 =
1.66666…

8/5 =
1.6

13/8 =
1.625

21/13 =
1.61538…

进行了6次近似,结果才到小数点后2位!刚才我们用π仅仅进行了2次近似,就精确到了小数点后6位。

(你可能注意到了,这个连分数的每一级逼近,就是传说中的斐波那契数列。为什么?你猜。)

1是最小的正整数。因此,φ,这个全部由1组成的连分数,是所有数中最难以接近的数。没有之一。

一周以后,老师和学生在同一餐厅碰面了,他们接着上次的连分数话题接着聊。

内容梗概:无论是圆周率还是在闰周的推算,祖冲之的贡献背后都离不开严密的数学计算。虽然他的推导过程已失传,但这些计算都可以用今人的视角归纳到一种简洁美丽的计算:连分数。通过撕一张A4纸,引出了连分数的概念,它把我们引上了一条风光旖旎的小径,一直通向1500多年前祖冲之进行的圆周率计算和闰周推算。

孤独的数,高冷的数,独一无二的数,不可捉摸的数

许多人说φ是最美的数,贯穿整个西方艺术史,所有优秀的设计都要用到它。这其实是夸大其词了。很多所谓的显示了黄金分割率的图,其实只是强行把一个对数螺线罩上去而已,二者并没有什么相似之处。黄金分割率是19世纪才开始流行的观念,达芬奇本人从未提过;现实中大部分比例(3:2,4:3,16:9)固然和黄金率离得不“太”远,但几乎见不到精确符合它的;人体并不严格符合黄金律;如果你让艺术系的学生挑选他们眼中最美的的长方形,挑出来的长宽比并不是围绕黄金律的。一项实验表明,只要是1.4-1.7范围内的长方形,人们都会觉得好看。黄金率在审美上没有什么特殊之处,我们看到的只是人们企图攀附它来寻找所谓的理论依据而已。

88必发 6请问这张图里前面那个对数螺线和后面那个建筑除了一样宽之外还有几毛钱的关系?图片来源: Sébastien
Bertrand

然而,自然界“懂得”它的真正含义。

想象你是一朵向日葵。你的果实和种子是在中心生长出来的,然后逐渐被“推”到外面去,过程中逐渐变大——因此传统的密堆方式(比如蜂巢那样的六边形)就不能用了。但是每长出一粒新的籽,你可以选择旋转一定的角度然后再长下一颗。

如果你旋转90度,也就是1/4个圆,结果就是这样:

88必发 7

因为外圈的空间比内圈大,所以有些地方你永远用不到。这很浪费空间。选择任何分数——1/3、1/4、2/5、3/7……结果都是这样,形成周期的图样,而两个周期中间的地方,总触及不到。

要想避开周期,只能用无理数。结果就是这样:

88必发 8

大有改善,但是还有很多缝隙没用上。毕竟,无理数是可以用连分数近似的。近似得太好的话,就和分数没有太多差别。

因此,我们必须找一个距离分数最远的、最难近似的、最无理的数,这样才不会产生周期性,才能补上中间的那些空隙。

这就是φ。它所对应的角度,大约是137.5度。

88必发 9

这个数字必须极其精确,不然就会毁掉整个图样。往上数第二张图——那是137.6度,多了0.1而已。但自然界很明显抓住了这个数。向日葵当然不懂这背后的数学原理,但在自然选择的压力下它猜中了答案。

88必发 10本系列图片来源:《一道八百年松鼠难题》by
桔子帮小帮主,下图不再一一注明

88必发 11

88必发 12

下面这个flash可以模拟不同的取值所带来的后果。输入0.618,再比较一下0.617和0.619的结果。如果说φ里体现了美,我倒宁愿认为是它展现了自然界的一角,而不是因为似是而非的神秘主义。

总之,不论在审美的意义上φ是否是一个美的数,在数学的意义上φ是一个高冷的数。它最为高效,然而又最难靠近,最是无理,因此,它也是最孤独的数。

而相比之下,一个人之所以孤独,则常常不是因为无理,而是因为过于理性了。(编辑:Calo)

“祖冲之最重要的数学研究成果圆周率,也能用连分数表示出来吗?” 学生问道。


“我们试试看,先把pi=3.1415926535….做连分数展开:

一周以后,老师和学生在同一餐厅碰面了,这次他们多花了一些时间点餐,因为菜单上又添了一些新菜式。落座后,他们一边喝饮料一边等上菜。学生把吸管伸到杯子里大口吸了一口可乐说:

“嗯,随着连分数的展开,后面的分数越来越接近3.14159265了。” 学生说道。

“上次谈论完“祖冲之”后,我觉得他非常神秘、甚至不可思议!”

“祖冲之得出了pi的两个近似分数表示,其中的疏率就是22/7,而密率就是355/113。而且密率非常好记,就是把113355从中间截断,变成113和355分别作为分子和分母。它的误差达到了10的负7次方级别。”

“哦,为什么这么说呢?” 老师也缓缓喝了一口热茶,笑眯眯地看着学生。

“那再往后展开呢?”

“因为一个人的精力是有限的,祖冲之再有能力,怎么可能把天文、数学、音乐以及机械的研究都集于一身并作出贡献呢?”

“接下来突然来了一个很大的数292,它的倒数很小,意味着它对连分数的精度影响很少,我们就认为连分数的精度突然提高了很多。事实上,292这个数字让渐进连分数的误差一下子降低了3个数量级!”

“这倒是个不错的疑问,让我先想想再回答,好吗?对了,你最近功课忙吗?”
老师转而问道。

“那后面还有什么呢?” 学生问道。

“功课挺多的,这学期的基础课主要是高等数学,像微积分、级数展开等都是全新的概念,理解起来很吃力。我很困惑我们为什么要学这么抽象复杂的概念,除了能解题,还有其它用处吗?”

“后面的数就比较小了: [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1,
1, 2, 2, 2, 2, …],而且没什么规律。”

“嗯,是的,我当初也有这种体会。不过一旦过了这个坎,你就会发现他们在物理、化学、经济学、甚至神经科学里大有用武之地,有了这种新的工具,以前很难解的问题突然轻而易举地解决了!”

“pi真是一个奇妙的数字。”

“可是我现在还没有这种感觉,也许您说的是对的。不过我同意数学是很多学科的基础,即便是中学数学知识将来应该也很有用。”

pi

“对,要不然祖冲之也没法根据相似三角形来推算冬至时刻了!”

“不过…如果真的要找规律,也是可以的。就是要把条件放宽一些。”

“那有没有可能,祖冲之正是因为有了数学基础,所以才在其它领域也有所突破呢?”

“什么条件?”

“不是没有这种可能,至少数学和其它学科有很多相通之处,甚至在某些方面有着千丝万缕的联系**。”

“如果把连分数的定义变宽,不要求分子一定是1,那么 π
的连分数就有很多漂亮的展开形式:”

“哦?是吗?比如说?” 学生急切地问道。

pi的广义连分数展开

“比如我们以前讨论的闰月的问题,其实是用两个整数12和13去近似一个无理数12.3684…
在祖冲之以前普遍采用的是19年7闰,可是祖冲之发现那样做误差有些大,固然这需要精确的天文观测来证明,但是如果要提出一个更加精确的置闰方式,就需要有坚实的数学基础和高超的数学技巧了。”

“哇!突然又变得好美!连分数就像一台3D的CT,能看到数字内部的构造。”
学生说道。

“祖冲之研究的农历置闰,那公历里的闰年设置也与数学有着紧密的联系吗?”

“那我们再用连分数试试其它数?说到美,其实还有一个更美的数。”

“既然都是历法,无论公历还是农历,本质上都是一致的,就是让一种计算历法和观测到天文现象相吻合,所以理论上都可以用一种神奇的数学式子来表示。”
老师说道。

“是什么数呢?”

“有这么神奇吗?”

“你想想古希腊神庙上的比例,金字塔的比例…”

“是的。在祖冲之那个时代还没有这个数学式子,直到16世纪高斯在研究最大公约数问题时顺带发现了这个数学式子,从此人们就发现它是如此神奇,可以用来解释公历、农历,预测日食、月食、火星大冲等各种天文现象。还可以近似求解方程,用整数去精确地逼近像圆周率或者黄金分割点这样的无理数。

希腊神庙

“这个数学式子叫什么呢?”

“黄金分割0.618吗?”

“它被称为“连分数”。” 老师说道。

“对。假定有一个长方形,宽是1,长是x(x<1),截掉一个变长x的正方形后,剩下的长方形的长和宽分别是x和(1-x),它与原来的长方形相似,即长宽比不变。”

“我没听过。”

“哦,我想起来了,如果在这个小长方形里再截去一个正方形,剩下的长方形仍和原长方形相似。以此类推,继续下去,可以无穷做下去,所得到的每一个长方形都和最初的长方形有同样的宽长比。”

“很正常,现在的数学教材里很少提到这个概念,可是它的应用实际上非常广泛。我给你演示一下吧。”

“对,这种长方形具有的宽长比就是黄金分割数。”

“好啊!”

黄金分割意味着截掉一个正方形后比例不变

“你有一张A4纸吗?” 老师问道。

“怎么计算黄金分割比呢?”

“当然有。”(学生从书包里取出一些A4纸)

“有两种方法,第一种方法:直接求解上面提到的方程,得到x=(√5-1)/2=0.618.

“好,我们来做一个小的折纸试验”。老师把A4纸放在桌面上。

“第二种方法呢?”

首先,以A4纸的短边为边长,做出一个正方形,把这个正方形撕下来。
剩下的长方形,可以折出两个正方形,也撕掉。
剩下的长方形,又可以折出2个正方形,都撕掉。
类似地,又折出两个正方形,撕掉。
类似地,又折出两个正方形,撕掉。
最后剩下的长方形,刚好是2个正方形,一分为二,一点不剩。”

“不是直接求解方程,而是逐渐迭代,例如从这个方程出发,我们可以得到:

A4纸:每次撕掉一个或两个正方形,刚好把A纸撕完

“然后就可以把x写成一个分式:

“有点意思。可是为什么是这样呢?”

“在上式右边分母中继续用1/(1+x)替代x,得到:

“你看出一些规律没有,除了第一个正方形外,总是折叠出两个正方形,撕掉。我们现在研究一下为什么这样。你记得A4纸的大小吗?”

“继续替换下去,就得到x的连分数展开:”

“记得,是297mm x 210mm。”

“哇,这么漂亮的展开,所有的数都是1,每增加一行就增加一个1。”

“对。那我们回顾一下刚才的折叠过程,这次加上数值的计算。

“我们把连分数逐个截断,就有了一串近似分数。随着展开越来越多,连分数的的数值越来越趋向于黄金分割点。”

第一次折出的正方形长宽是210×210,撕掉后,剩下一个87*210的长方形。
再折出两个87×87的正方形,撕掉,剩下一个87×36的长方形;
再折出两个36×36的正方形,撕掉,剩下一个36×15的长方形;
再折出两个15×15的正方形,撕掉,剩下一个15×6的长方形;
再折出两个6×6的正方形,撕掉,剩下一个3×6的长方形;
这刚好是两个3×3的正方形,直接对半撕掉后就什么都不剩了。”

“如果你观察一下这些分数的的分子和分母,就会发现一个有趣的规律。”
老师说道。

撕A4纸过程的数字表示

“我看看”,学生盯着这一串数字看来一会说:“看出来了,一个近似分数的分母刚好是下一个截断近似分数的分子,比如2/3的分母3刚好是3/5的分子,3/5的分母5刚好是5/8的分子,以此类推。”

“可是这和连分数有什么关系呢?” 学生问。

“还有一些规律,你再找找。”

“这刚好就是297/210的连分数展开。现在我们把这个过程重新用分数表示一遍,你就明白什么是连分数了

“哦?有什么提示吗?”

一开始,A4纸张是297mm*210mm,长宽比可以表示为分数:

撕掉正方形,相当于不考虑整数1,只考虑分数87/210。把分子和分母换位,变成了210/87:

折出2个正方形,相当于210/87=2+36/87,所以有:

撕掉2个正方形,剩下分数36/87,分子分母倒换变成87/36,

类似的,折出2个正方形,87/36=2+15/36,所以:

去掉整数,分式翻转,变成36/15=2+6/15。

折出2个正方形,翻转,变成15/6=2+3/6,

最后一步6/3=2+0。整除,余数是0,什么也没剩下,刚刚好,没有任何浪费。

把整个式子连起来就是:

“这次只看分母。”

“这么多2!” 学生说道。

“1,2,3,5,8,13,21… 哦!看出来了,任意相邻两个数之和刚好等于下一个数。”

“如果我们不是一下子直接算出297/210,而是逐渐地用前几个分数去逼近,看看会发生什么。

1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13, 8+13=21 …

一开始,只有一个分式:

然后是两个分式:

之后是三个分式:

接下来是四个分式:

最后是:

“对了,这就是斐波那契数列!”

“看出来了,越来越接近√2的真实值1.41421….” 学生说道。

“真有意思。”

“对了,如果直接用297除以210,看能得到什么,

“而且,你再看看所有分子组成的数列!” 老师说道。

“真神奇!这数非常接近√2的真实值。不过这也容易理解,随着撕掉的纸越来越多,剩下的纸越来越小,最后就越来越趋近于一张完整纸的比例297/210了。
” 学生说道。

“哦,一样的,也是斐波那契数列!”

“回头看看连分数展开,每一个分子都是1,所以真正有意义的是整数部分和分母,所以可以把连分数简写成[1;
2, 2, 2, 2, 2]。分号前的是整数,分号后的分数的分母。” 老师补充道。

“对。斐波那契数列隐藏在自然界许多动物和植物身上,比如海螺的螺旋形,花椰菜的图案,等等。”

“好的。可是我还是不明白怎么这么巧?为什么A4纸大小和√2有这么紧密的关联?

斐波那契数列形成的螺旋形 Fibonacci Spiral (from Wikipedia)

“好,那我们从最简单的开始,你知道A4纸的尺寸是怎么定义的吗?”

自然生物里的斐波那契螺旋

“是A3的一半,而A3又是从更大的A2的一半,而A2又是A1的一半,A1是A0的一半. ”

“连分数真是神奇,第一个用连分数的是谁呢?”

“对。国际标准在定义纸张大小时有两个重要的考虑,一是纸张的价格与纸张的面积成正比。”

“有人说是高斯在研究最大公约数的性质时发现的,也有人说是1579年-Rafael
Bombelli,《L’Algebra Opera》 – 与连分数有关的提取平方根的方法。”

“嗯。另一个考虑呢?”

“就是那个德国的数学王子高斯吗?”

“第二个考虑更重要:每次把一张纸切割为更小的两张纸时,要保证纸张的长宽比不发生改变。”

“对。比如求两个数25和35的最大公约数,我们直接看出来是5。但是如果这两个数的最大公约数不能一下看出来,该怎么办?高斯想找到一种通用的方法来求解最大公约数。”

“为什么这么考虑呢?”

“高斯是怎么做的呢?”

“比如你编辑了一份文档,用A4纸打印出来的格式很符合你的要求,可是如果你想把两页的内容打印在一张A4纸上,也就是每页纸内容占据一张A5的大小,因为长宽比没有变,所以看起来和A4纸上打印的长宽格式一样,只是字体等比例变小而已。”

“比如408和126的最大公约数,是不能直接看出来的。那么高斯用408除以126,得到的商是3,余数是30.
可以写成:408=126×3+30.
然后高斯用除数126继续除以余数30,商是4,余数是6,可以写成126=30×4+6.
最后高斯如法炮制,继续用除数30除以余数6,得到了商6,余数等于0,30=6×5。于是计算结束。所求的最大公约数就是最后一个除数6.

“如果没有这个要求,打印出来的文档长宽格式就要出问题了吗?”

“可这背后的原因是什么呢?”

“是的,比如某张纸的比例是11:10,等分后就变成了两张5.5:10的纸张,比例改变后,图片就变形了!”

“我们把上面的式子写成三行:

如果纸张切割成两份而不保持长宽比,打印出来的图像会变形

“如果表示成分式就是:

“嗯,看来长边和短边的比例不是随便选的。”

“我们合在一起就是连分数:

“现在,我们算一下什么样的比例才让每次分割都保持相同的比例。如果分割前长边和短边的比例是a/b,那么沿着长边a分割成两半后,就有了两张b:a/2的纸,要想保持比例不变,就需要:

“最后一次相除,除尽了,表示存在最大公约数,那么最后的除数就是它们的最大公约数,这里是6.”

原来如此!只要保证最大的A0纸的长边是短边的√2倍,这样分割下去,所有的纸张类型都是同样的比例不变!而且这样不会浪费,是吗?”
学生问道。

“今天,连分数大放光彩。” 学生靠在椅背上长叹一声。

“是的!如果不是这样的比例,那么每次切割如果还想保持原来的比例,就要多裁一些纸张,造成了浪费。”

“嗯,最后我们再来一个花絮,看看自然对数e的连分数展开。”

如果每次裁剪不保持比例,那么要想图像不变形,就要多裁一些纸张,造成了浪费.

“e是无理数。”

如果纸张宽长比是√2,裁成两张后比例仍是√2,图像不会变形而且不会浪费

“对,它的十进制前200位没有任何规律。”

“明白了。可是为什么A4的大小是297/210而不是别的呢?

e = 2·71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 6999595749
66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 6427427466 39193 20030
59921 81741 35966 29043 57290 03342 9526059563 07381 32328 62794 34907
63233 82988 07531 95251 01901 …

“这要从A0谈起。如果纸张厚度相同,那么纸张的价格取决于面积,而A0纸的面积规定是1平方米,而比例仍保持√2。

“展开成连分数后呢?”

所以A0的纸张的长a和宽b就满足

那么

求得A0纸张的尺寸:b=0.841 米,a=1/b=1.189 米,即1189:841(毫米)。

老师把e的数值输入到连分数计算器里,发现了下面的结果:

A系列纸张尺寸 (Wikipedia)

“漂亮!没想到无规律的数,经过连分数展开,显现出这么有层次的内部结构!”
学生说道。

从这个短边841出发,每次除以√2就得到下一个尺寸的短边,

“今天我们先聊到这儿吧。”

“297:210 ,这就是A4纸了。” 老师说道。

“好的,老师再见!”

“也就是说297/210近似等于√2?”学生问道。


“是的。”

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“可是√2的十进制小数好像任何规律可言!”


√2的前200位小数:1.41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696
71875 3769480731 76679 73799 07324 78462 10703 88503 87534 32764
1572735013 84623 09122 97024 92483 60558 50737 21264 41214 9709993583
14132 22665 92750 55927 55799 95050 11527 82060 57147…

关于作者:笔名偶遇科学,微电子学博士,喜欢探求事物背后的原因和不同学科的联系,寻求科学与人文的融合。求学和教学的经历让他收获了严谨的思辨精神,更让他明白了科学背后温情和人文不可或缺。每周他和学生在餐厅的固定约会,话题无所不包,一起发现科学、并享受思考的乐趣。

“那我们把√2做连分数展开就会看到隐藏在数字背后的秘密。”

“√2的连分数展开式真漂亮!而且前6位和297/210的连分数展开完全一样,都是 [
1; 2, 2, 2, 2, 2]。”

“你的眼力不错!一些看起来没有规律的数字,换一个角度去看,立刻就有了规律,这就是数学的魔力!√2的前几位的渐进分数297/210完全一样。99/70其实就等于297/210,所以297/210之比是√2的一个非常接近的近似!”
老师说道。

“那连分数能解释祖冲之的圆周率和闰周推算吗?” 学生问道。

“当然可以,甚至还会有新的发现。今天没有时间了,我们下次再聊吧。”

“好的,老师再见!”


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    祖冲之:不仅会算还会辩

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关于作者:笔名偶遇科学,微电子学博士,喜欢探求事物背后的原因和不同学科的联系,寻求科学与人文的融合。求学和教学的经历让他收获了严谨的思辨精神,更让他明白了科学背后温情和人文不可或缺。每周他和学生在餐厅的固定约会,话题无所不包,一起发现科学、并享受思考的乐趣。