(Stellasun/编译)2015年9月17日,2006年菲尔茨奖得主、华裔数学家陶哲轩宣布破解了80年未决的埃尔德什差异问题(the
Erdos Discrepancy
Problem),论文预印本已经发表在arXiv.org上。

“任一大于 2 的整数都可以写成三个质数之和。”271
年前,德国人哥德巴赫告诉欧拉这句话时,可能自己也没想到一下就在解析数论这个领域挖了一个东非大裂谷级别的“坑”。

作家唐国明完成了对哥德巴赫猜想(1+1)的最简证明

埃尔德什差异问题由数学家保罗·埃尔德什(Paul
Erdős)在1932年提出,指的是在任意只由1和-1组成的无限数列中,能找到项与项间等距的有限子列,使子列各项之和的绝对值大于一个任意大的常数C。和许多数论问题一样,埃尔德什差异问题描述起来很简单,但证明难度却很大。埃尔德什于1996年去世,没能看到这一问题的证明。

那时 1
还是素数。如今数学界已不用这个约定,原话用现在的语言来表示是,“任一大于
5 的整数都可写成三个质数之和。”

——每个不小于6的偶数都可以是两个奇素数之和

直觉上看,对有些数列而言,这个问题的答案非常简单——在只有1的数列中,把各项加起来一定能得到任意大的数;对无限数列(-1,1,-1,1,-1,1,…)来说,要找到一个各项之和大于2、而且间隔固定的子数列,取第二位和第四位就行;要找到各项之和大于4的子数列,可以取第二位、第四位、第六位、第八位;无论多大的数,都能在(-1,1,-1,1,-1,1)中找到加起来等于这个数的子数列。但埃尔德什的猜想是,无论这些正负1怎么排,这个结论都成立:给出一个任意大的常数,就能找到这样的数列。

欧拉后来回信哥德巴赫,说这句话可以更简洁——“任一大于 2
的偶数都可写成两个质数之和”。后人将这句话记为“1 +
1”。这个表述如此简单,以至于很多业余爱好者也想在这个问题上一展身手。但它实际上却是那么难,出现之后的
160 年里,没有任何进展。1900
年希尔伯特在第二届国际数学大会提到它后,又重新燃起数学家们挑战和解决它的热情。

(或任何一个大于2的偶数,都可以是两个素数之和。)

这到底是什么意思呢?假设你和你的朋友玩一个抛硬币游戏。掷出正面,你往左走一步。掷出反面,你往右走一步。你知道他在硬币上做了手脚,出来正面还是反面,随心所欲他说了算。

然而,至今也没有人证明哥德巴赫猜想。

作者:唐国明

但你也有杀手锏:你可以忽略某些硬币的结果——只不过不能瞎忽略,而是有规矩:每过固定数量的硬币就有一个算数,剩下的全不算。具体隔几个,你在结束的时候说了算。埃尔德什猜想的意义在于,虽然你最后往左还是往右你说了不算,但是你想离出发点多远,就能有多远。

不过,数学家们已经从 271
年前的出发点走的很远了。从上面关于偶数的哥德巴赫猜想,又可以推出:

摘要

陶哲轩的证明说明了埃尔德什的猜想是对的,但他并没有给出计算这个数值的方法(也就是说,具体怎么挑还不知道,但这个杀手锏是存在的)。虽然他的证明还没有经过严格的同行评议,但数学家们对他的结果很有信心。“我绝对相信他的结果,”以色列希伯来大学的数学家吉尔·卡莱(Gil
Kalai)这样说道,但他随后补充道评议可能需要花上一些时间。

任一大于 5 的奇数都可写成三个素数之和。

哥德巴赫猜想即每个不小于6的偶数都可以是两个奇素数之和(也可以说任何一个大于2的偶数,都可以是两个素数之和。),即简称“1+1”。本文根据不管奇素数有无限多,有无穷大,每个大于10的奇素数都逃不过尾数(个位数)是1、3、7、9的循环,而1、3、7、9不管如何两两相加,它都是偶数;所以该猜想“1+1”成立,即每个大于或等于6的偶数都可以是两个奇素数之和的定理成立。

数学家们最近一次向这个问题发起挑战的行动始于2009年12月,并在2010年组建起了团队。来自剑桥大学的数学家蒂莫西·高尔(Timothy
Gowers)建议用“博学项目”(Polymath
Project)解决问题——一个数学家合作的在线平台(译注:Polymath
Project还参与过对张益唐孪生素数结果的改进,详情请见《孪生素数猜想之后的故事》)。陶哲轩是几十位参与者之一。

这被称为“弱哥德巴赫猜想”。1923
年,英国数学家哈代与李特尔伍德证明,假设广义黎曼猜想成立,弱哥德巴赫猜想对充分大的奇数是正确的。

关键词

这次合作在2012年告一段落,但数学家们证明了只要能证明埃尔德什猜想对一类数列成立,就能推广到普遍情况。这种数列是这样的:在质数项,数值是随机的,但其他项的数值是它的质数因子项上的数值的积。比如说,第十五项的数值是第三项和第五项的积。

1937
年,苏联数学家伊万•维诺格拉多夫更进一步,在无需广义黎曼猜想的情形下,直接证明了充分大的奇数可以表示为三个素数之和,被称为“三素数定理”。不过他无法给出“充分大”的界限。他的学生博罗兹金于
1939 年确定了一个“充分大”的下限:314348907。这个数字有
6846169 位,要验证比该数小的所有数完全不可行。

大于10的奇素数的尾数(个位数)只能在1、3、7、9几个数之间循环。(这个分布规律可以在陈景润《初级数论Ⅰ》第一章后面附的5000以内的素数表中可以看出。)

2014年2月,研究人员们用计算机证明了埃尔德什问题的一个特殊情况——子列的和一定能大于2,但没能证明一定能大于3.
陶哲轩的证明说明了这个和一定能大于任意大的有限数。

1995 年,法国数学家奥利维耶•拉马雷证明,不小于 4
的偶数都可以表示为最多六个素数之和。莱塞克•卡涅茨基证明了在黎曼猜想成立的前提下,奇数都可表示为最多五个素数之和。2012年,陶哲轩在无需黎曼猜想的情形下证明了这一结论。

引言:

这个证明发表后,数学家们很长一段时间来都没能取得新的进展。就在这个月初,陶哲轩在博客收到了一条评论,提醒他他正在研究的另一个问题可能与埃尔德什猜想有关。“一开始,我觉得这两个问题之间的联系只是表面的,”陶哲轩在一封电子邮件中这样写道;但他很快意识到,将新思路和之前的结果结合在一起,很可能得到问题的证明。不到两周后,他就发表了论文,并在致谢中感谢了这位评论者——图宾根大学的数学博士尤威·斯特罗斯基(Uwe
Stroinski)。

2013年5月13日,法国国家科学研究院和巴黎高等师范学院的数论领域的研究员哈洛德•贺欧夫各特,在线发表两篇论文宣布彻底证明了弱哥德巴赫猜想。贺欧夫各特在文章“Minor
arcs for Goldbach’s problem”中,给出了指数和形式的一个新界。在文章“Major
arcs for Goldbach’s
theorem”中,贺欧夫各特综合使用了哈迪-利特伍德-维诺格拉多夫圆法、筛法和指数和等传统方法,把下界降低到了1030左右,贺欧夫各特的同事
David Platt
用计算机验证在此之下的所有奇数都符合猜想,从而完成了弱哥德巴赫猜想的全部证明。

真理就简单明了的摆在那儿,只是等待人去发现而已。

陶哲轩把论文发表在了高尔管理的开源期刊《离散分析》上。《离散期刊》是9月初创刊的,它提供传统的同行评议,但由于只接受已经发表在arXiv上的论文,避免了大量的发行成本。“蒂姆(译注:指前文中的数学家蒂莫西·高尔)的期刊是对论文完全开源出版的一次前景大好的实验。”陶哲轩说。

哈洛德•贺欧夫各特出生在秘鲁,高中毕业后获得了美国大学的奖学金,后在普林斯顿大学读博士,2003年获得博士学位,目前在巴黎研究数学。果壳网前不久对他进行了一次采访。

哥德巴赫猜想于1742年提出至今被喻为“皇冠上的明珠”;20世纪的数学家们研究哥德巴赫猜想所采用的主要方法,是筛法、圆法、密率法和三角和法等等高深的数学方法。解决这个猜想的思路,就像“缩小包围圈”一样,逐步逼近最后的结果。

图片 1埃尔德什和十岁的陶哲轩一起研究数学问题。图片来源:nature.com

证明弱哥德巴赫猜想

图片 2

果壳网:你最近宣布证明了弱哥德巴赫猜想,能简单介绍一下这个猜想以及你的工作吗?

贺欧夫各特:对的,希望我没有搞错吧(笑)。

有两个哥德巴赫猜想:弱哥德巴赫猜想和强哥德巴赫猜想。强哥德巴赫猜想成立,弱哥德巴赫猜想就成立。如果每一个大于
2 的偶数都可以写成两个素数的和,那对于任意的一个大于 5 的奇数,减去 3
之后就是一个偶数,可以写成两个素数的和。

19
世纪的数学家只能做点手工验算。对于强哥德巴赫猜想,他们验算到了大约两百万。用这个结果,他们将弱哥德巴赫猜想验算到了十亿。怎么做的呢?写出从
3
到大概十亿的一串素数,相邻两个素数之间相差不到两百万。用这条“素数天梯”就能验算弱哥德巴赫猜想。对于任意十亿以下的奇数,我们只要找出素数天梯中恰好比它小的素数,它们的差一定是个不超过两百万的偶数,所以能写成两个素数的和。也就是说,这个奇数能写成三个素数的和。虽然这个方法不错,但只靠手算的话,推进不了多远。

真正的进展始于 20 世纪。不过罗兹金给出的 314348907
实在太大。陈景润和王天泽将常数改进到了大概 10 的 30000 次方,或者是
20000,我记太清了。陈景润就是那位证明了充分大偶数可以表示为一个素数和一个至多只有两个素因子的所谓“殆素数”的和的数学家,我想你们的读者应该对他很熟悉。他们改进的常数比维诺格拉多夫的要好得多,但还远远不够。

后来又有一位中国数学家(指香港大学的廖明哲——编者注),将常数改进到了 10
的大约 1300 次方。这挺好,但也不够。

即使能将常数减小到 10 的 100
次方,还是不够。这个数比宇宙中所有的粒子数再乘以自大爆炸以来的秒数还要大。计算机很难在足够短的时间内将猜想验证到
10 的 100 次方。所以,我们要做的就是将常数降低到计算机能处理的范围。

2005
年我开始关注这个问题。在此之前,我看过维诺格拉多夫的证明,那时我就意识到要将常数降得很低,我当时能将它降到
10 的 100 次方,但这对猜想的完全证明没有决定性作用。

从 2006
年左右开始,我一点点地去做这个问题,发掘不同的小想法。也有别人在干类似的事。大概一年半前,陶哲轩证明了每个奇数都可以写成最多五个素数的和。从这个节奏来看,我要赶紧点,当时可能我也有些毛了(笑)。所以从去年开始,我就放下了手头上别的工作,加班加点把所有的小想法拼在一起。最后我发现它们能行得通,这无疑很棒。

我把常数降低到了 10 的 29 次方。实际上还可以降低到 10 的 27
次方,但这没什么意义,因为我们的程序已经能验证到大概 8 ×
1030,比实际需要的还高 80 倍,再搞下去就没必要了。

论文已经投到期刊了,现在就是等待审稿的结果,这大概要一年时间吧。

果壳网:你在证明中用到了计算机,那你对计算机在未来的数学证明中发挥的作用有什么看法?

贺欧夫各特:在我们的证明里,计算机做的就是验证一些有限的陈述,跟 19
世纪的手工验证没什么区别。

但现在计算机还能独自证明一些简单的小引理。最近有篇论文,其中一个引理的证明就来自计算机。那是一个很小的不等式,就像那些在高中数学竞赛中出现的不等式。这类不等式并不容易证明,所以它们才能出现在高中数学竞赛中。但现在,你可以将这种不等式输到计算机里,计算机就有可能直接给出证明,或者帮你判断对错。

这也就是最近的事。这类小引理的证明算是偶尔会出现的新奇事物。这也是个很有希望的方向,需要发展一下这方面的算法。

不过要分清计算机证明与数值实验。数值实验就是比如说我把某个东西验证到了一百万,然后我说它大概是对的,但这不是一个证明,而只是一种经验式的证据。而计算机证明,我们用到的就是对有限陈述的验证,原则上用笔和纸也能完成的那种。这种有限的验证是不可避免的,在数学分析中,如果变量小于某个数值,主项和误差项相差不够远,这种情况就要一一验证。要分清证明和证据,证据只能指引方向,而证明就真的是无误的逻辑证明。

 

1920年,挪威数学家布朗证明了定理“9+9”,由此划定了进攻“哥德巴赫猜想”的“大包围圈”。这个“9+9”是怎么回事呢?所谓“9+9”,翻译成数学语言就是:“任何一个足够大的偶数,都可以表示成其它两个数之和,而这两个数中的每个数,都是9个奇素数之积。”
从这个“9+9”开始,全世界的数学家集中力量“缩小包围圈”,自从我国陈景润1966年证明“1+2”之后,当然最后的目标就是“1+1”了。现陈述论证“1+1”如下:

埃尔德什在陶哲轩申请普林斯顿大学的博士项目时曾为他写过推荐信;他经常对自己提出的猜想提供现金奖励。他为解决埃尔德什差异问题设下的奖金是500美元。在他去世后,别人接管了这些奖金的颁发。

谈谈张益唐

图片 3

果壳网:这几个月对于解析数论来说挺忙碌的,我们有你对弱哥德巴赫猜想的证明,还有张益唐对素数间距方面的突破。你对张益唐的工作有何评价?

贺欧夫各特:还没仔细看过证明,不过我觉得他的证明令人印象深刻。在
Facebook
上我看到了他在哈佛做讲座的消息,宣布了他证明了对于某个有限间距,存在无穷对小于这个间距的素数对。

一开始大家都不太相信,我的 Facebook
好友也持怀疑态度。但很显然他并没有将他的工作发在网上,他可能怕大家不相信他,不会去认真对待他的工作。于是他将论文投到一个期刊,请这个期刊审阅,过了一个月审阅就完成了,对于数学期刊来说这相当高速,非常罕见。几位数论方面的专家匿名审阅后,没有挑出很大的问题,他才将论文放到网上。

在张益唐的证明中,他改进了邦别里-维诺格拉多夫定理的一种特殊情况。其实之前也有人做过各种各样的改进,但都不太适合素数有限间距的问题。

张益唐的证明里给出了一个常数。对张本人来说,常数本身是多少并不重要,重要的是这是个有限的常数,现在人们在尝试降低这个常数。我个人希望相关的论证能弄得简洁一些,因为如果论证太复杂,这种努力就不太吸引人了。

果壳网:张益唐没有正式的研究职位却取得了重要的成果,在数学界中这很普遍吗?

贺欧夫各特:其实不太普遍。一般说的“纯粹的研究职位”也不是只搞研究,还有些行政方面的工作,也带一些学生。而更普遍的是研究和教学兼有的职位,在法国这很普遍,我相信在中国和其它国家这也是主流。

张益唐特别之处在于,他是大学讲师,大家不会期望一位讲师去做研究。一位讲师证明了这么重要的定理,这不寻常,一般的讲师大概连论文都不太发。

当然,即使张益唐没有正式的研究职位,但他受过专业的数学训练,所以才能解决素数间距的问题。

果壳网:张益唐和陈景润在不太好的境遇中做出了非常好的成果。有些人觉得他们也能想这两位数学家那样解决世界难题,即使他们没接受过数学训练。

贺欧夫各特:总有一些人,他们没有数学背景,不知道何谓数学证明,却整天幻想解决重大的数学猜想。这是一件悲哀的事情,但总有这样的人。我偶尔也会收到这些人给我发的邮件。我真的觉得这是件很悲哀的事,他们应该找点别的事情做。

要想做数学,需要多年的训练,还要与别的数学家交流。对于做数学的人来说,总会碰到艰难的时期。这时陈景润和张益唐的遭遇就会提示我们,只要有坚实的数学训练,再加上坚强的意志和艰苦的工作,常常可以度过困境。但正式的数学训练是必须的。

 

1、“1+1”成立的理论过程

陶哲轩也被问到如果别人决定把奖金授予他,会不会真的去领奖,他的回答是:“在埃尔德什还在世的时候,传统做法是不兑现奖金支票;人们一般会把它裱起来。”(编辑:Ent)

全球化的数学教育和高层次的数学普及

图片 4

果壳网:你平时是怎么工作的呢?

贺欧夫各特:你看,我会看书(指着桌上的一大堆书)。在法国我大部分工作时间花在了数学研究上,不过我也会跟数学家朋友们聊聊天,也会带博士,偶尔教教课。我觉得对于数学家来说教课是很重要的。我挺喜欢教课,讲一些大家都比较熟悉的东西,但是用一些新的理解和思路。我不太喜欢那种每个学年的例行讲课。

法国的这个职位有一点好处,就是比较自由。除了研究以外,我可以到全球各地与别人合作。这是一件好事,我相信数学的未来在于全球合作。在欧美的数学家也应该多去欧美以外的地方,像是南美和亚洲,去传播数学。

果壳网:你曾经到印度和秘鲁授课,这就是你的动机吗?

贺欧夫各特:正是如此。那里有不少有才能的学生。我很快就要在秘鲁主持一期暑期学校了。我在秘鲁授课的一个原因当然是我出生在秘鲁,但我觉得每个人都应该走出去传播数学,每个人都可以由此得益,不失为很好的体验。

果壳网:对于希望学数学的中国学生,您有什么建议?

贺欧夫各特:这是个好问题。我就从数论方面讲。如果希望学数论的话,需要掌握很多领域的知识。全面的数学教育是很重要的。另外,数学不仅仅是理论的构建,还包括对实际数学问题的解决,应该注意到这一点。

我最喜欢的一本数学书是维诺格拉多夫的一本小书,《数论基础》。这是我 13
岁的生日礼物。这本书不难,而且有很多很好的习题。我现在的证明改进了维诺格拉多夫的结果,这纯属巧合。

兴趣对于做数学是很重要的。数学研究不仅仅是一种职业(job),更是一种使命(vocation)。人生苦短,虽然在工作外还有生活,但工作还是占据了很大一部分时间,这些时间还是花在自己感兴趣的事情上为好。我们应该做有用的事,但同时最好也做最适合自己的东西。

果壳网:对于数学科普,你怎么看?

贺欧夫各特:数学普及很好,数学研究可以由此传达给大众,但我们也应该指导对数学感兴趣的年轻人接受更严肃的数学教育。数学研究者一般在很年轻的时候就开始做数学,比如说高中毕业后或者在大学里。我认为面向大众的数学普及是很好的,但面向有志成为数学家的年轻人的较高层次的数学普及也很重要。

当然,这两个层次之间还有一层,就是面对科学家和工程师的。数学是他们重要的工具,但不是他们研究的领域。他们明白更多的概念,因此可以更深入。

果壳网:职业数学家在数学科普中可以起到什么样的作用?

贺欧夫各特:在我刚才说到的三种数学普及中,职业数学家更适合做中高层次的数学普及。已经有不少人在做面向大众的普及,而且都做得不错。但中高层次做的人很少。我自己也在做一些这方面的东西,比如之前说的去世界各地讲课。我还有个数学博客,但几乎没什么内容,因为我最近忙着做论文。不过,过些时间我会写一篇有关弱哥德巴赫猜想的博文,大概工程师的水平就能看懂,敬请期待。

(本文编辑:吴师傅)

编辑注:在采访时,果壳网和贺欧夫各特也聊到了证明的细节和具体的方法。限于篇幅,没有写在正文中。有兴趣的读者可以点击下面两个链接阅读:

  • 解析数论中圆法的改进和筛法  
  • 证明弱哥德巴赫猜想时我和同事是如何使用计算机的
     

 

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素数的定义是,只能被1整除与自身整除的数叫素数。

*注:文中的比喻不一定正确,欢迎在评论中提出更严密(以及更人话)的类比……

 

从而可得知:

 

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任何大于或等于4的自然数通过被2尽整除检验过后,假如不能被2整除再用3尽整除检验过后,假如不能被3整除再用5尽整除检验过后,不能被5整除再用7整除检验过后,最后只能被1整除与它自身整除的数叫素数。

简单的说:

就是任意大于或等于4的自然数分别通过2,3,5,7尽整除尽后(或可以叫被2,3,5,7素数化之后),整除尽后的数一定是一个只能被1整除与它自身整除的素数。

而只能被1整除与它自身整除的素数,在偶数中仅只有2。通过前人的努力与对素数所做的成果证明,凡是大于2的素数,除3、5、7之外,两位数及两位数以上的素数,其个位数,也就是其尾数(个位数)只能在1,3,7,9中轮回变动,不可能是其他数,所以,除是素数又是偶数2之外,其他的奇素数,既是奇数又是素数。根据定义,奇数加奇数之和是偶数,所以两奇素数之和必是偶数。

因此,不管素数有无限多,有无穷大,它都逃不过尾数是1,3,7,9的循环变动,而1,3,7,9不管如何相加,它都是偶数。如少于10的奇素数3,5,7无论怎样两两相加都是偶数。

例证:

1+3﹦4

1+7﹦8

1+9﹦10

3+7﹦10

3+9﹦12

7+9﹦16

根据上面得出的结果,4,8,10,10,12,16都是偶数。所以任何大于10的奇素数,只要个位数相加是偶数,所以它们相加之和也必是偶数。所以任一大于或等于6的偶数可表示为两奇素数之和。也可以按1742年6月7日,德国数学家哥德巴赫在写给著名数学家欧拉的一封信中的原话说:

一、任何不小于4的偶数,都可以是两个质数(质数就是素数)之和(如:4﹦2+2);(而欧拉回信说:任何一个大于2的偶数,是两个素数之和。2是偶数,也是素数,并且是唯一的偶素数,而大于2的偶数4,只能仅能是素数2+2的和。所以在这个基础上说“任一大于或等于6的偶数可表示为两奇素数之和”更明朗。)

二、任何不小于7的奇数,都可以是三个质数(质数就是素数)之和(如:7﹦2+2+3)。

再看三个分别大于10的奇素数之和或四个大于10的奇素数之和是奇数还是偶数?再看例证,用任一大于10的奇素数的尾数(个位数1,3,7,9)相加,可得:

1+3+7﹦11

1+7+9﹦17

3+7+9﹦19

根据上面得出的结果,11、17、19都是奇素数,所以三个奇素数之和不是偶数,是奇数。因而从这可得出任意大于9的奇数,可以表示为三个素数之和,即“1+1+1”。而小于10的奇数如7﹦2+2+3,9﹦2+2+5,所以也可以按哥德巴赫在写给著名数学家欧拉的一封信中的原话说:任何不小于7的奇数,都可以是三个质数(质数就是素数)之和。

再看四个奇素数相加,只要相加四个奇素数的个位数(尾数1,3,7,9)就可以得知。例证:

1+3+7+9﹦20

1+1+3+7﹦12

3+3+7+1﹦14

9+9+3+1﹦26

(其他省略)

不管你们如何相加,四个奇数相加之和是偶数。所以由此可知,偶数个奇素数相加之和必是偶数;奇数个奇素数相加之和必是奇数。

综上所述,一个任意大于或等于6的偶数都可以表述为两个奇素数之和。

2、“1+1”成立的公式证明过程

参考文献:

[1] 陈景润 《初级数论Ⅰ》 哈尔滨工业大学出版社 2012-05-01

[2] 百度百科《世界三大数学猜想》 2017参考

[3]百度百科《哥德巴赫猜想 (世界近代三大数学难题之一)》 2017参考

作者简介:

唐国明,男,汉族,现居长沙,湖南省作家协会会员,自发表作品以来,已在《诗刊》《钟山》《北京文学》《星星》诗刊及其他国内外刊物发表作品数百万字。2016年出版先后在美国与秘鲁《国际日报》中文版发表连载,以反复阅读的方式考古发掘出埋藏在程高本后40回中的曹雪芹文笔,以考古的科学方式修补复活出符合曹雪芹语韵与曹雪芹创作原意的“红学”作品《红楼梦八十回后曹文考古复原:第81至100回》。